giải giúp em bài này với ạ. em cảm ơn. Trong một cái hộp có đựng 40 quả bóng, gồ…

PHÂN TÍCH ĐỀ BÀI:

Chúng ta có 40 quả bóng chia thành 4 màu (xanh, đỏ, vàng, trắng), mỗi màu có 10 quả được đánh số từ 1 đến 10.
Một “cặp may mắn” là hai quả bóng cùng màu mang số 1 và số 10. Như vậy, có 4 cặp may mắn tiềm năng:

• Cặp Xanh: (Xanh 1, Xanh 10)
• Cặp Đỏ: (Đỏ 1, Đỏ 10)
• Cặp Vàng: (Vàng 1, Vàng 10)
• Cặp Trắng: (Trắng 1, Trắng 10)

Tổng cộng có $4\times 2=8$ quả bóng đặc biệt mang số 1 hoặc số 10.
Các quả bóng còn lại (số 2 đến số 9 của mỗi màu) là $40-8=32$ quả.
Chúng ta cần chọn ra 6 quả bóng từ hộp sao cho được ít nhất một cặp may mắn.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Đối với các bài toán có yêu cầu “ít nhất một”, cách hiệu quả nhất là sử dụng nguyên lý phần bù. Tức là:
Số cách chọn thỏa mãn = (Tổng số cách chọn 6 quả bóng) – (Số cách chọn 6 quả bóng mà không có bất kỳ cặp may mắn nào).
Lý do chọn phương pháp này là vì việc đếm trực tiếp các trường hợp “ít nhất một cặp may mắn” (1 cặp, 2 cặp, 3 cặp, 4 cặp) sẽ phức tạp và dễ sót hơn nhiều so với việc đếm trường hợp ngược lại “không có cặp may mắn nào”.

LỜI GIẢI CHI TIẾT:

Bước 1: Tính tổng số cách chọn 6 quả bóng từ 40 quả.

Đây là tổ hợp chập 6 của 40 phần tử, vì thứ tự chọn các quả bóng không quan trọng.
Số cách chọn là: $C_{40}^6$

$$C_{40}^6=\frac{40!}{6!(40-6)!}=\frac{40!}{6!34!}$$
$$C_{40}^6=\frac{40\times 39\times 38\times 37\times 36\times 35}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\mathrm{3.838.380}$$
Vậy, có 3.838.380 cách chọn 6 quả bóng từ 40 quả.

Bước 2: Tính số cách chọn 6 quả bóng mà không có bất kỳ cặp may mắn nào.

Để không có cặp may mắn nào, điều đó có nghĩa là trong 6 quả bóng được chọn, chúng ta không được chọn đồng thời cả quả số 1 và quả số 10 của cùng một màu.
Chúng ta chia các quả bóng thành hai loại:

• Loại A: Các quả bóng đặc biệt (số 1 và số 10 của mỗi màu). Có $4\times 2=8$ quả.
• Loại B: Các quả bóng thường (số 2 đến số 9 của mỗi màu). Có $4\times 8=32$ quả.

Để không có cặp may mắn nào, khi chọn các quả bóng thuộc Loại A, chúng ta chỉ được chọn tối đa một quả của mỗi màu (hoặc quả số 1, hoặc quả số 10, hoặc không chọn quả nào cả).
Chúng ta sẽ xét các trường hợp về số lượng quả bóng Loại A được chọn:

Trường hợp 2.1: Chọn 0 quả bóng Loại A và 6 quả bóng Loại B.

• Số cách chọn 0 quả Loại A từ 8 quả là $C_8^0=1$.
• Số cách chọn 6 quả Loại B từ 32 quả là $C_{32}^6$.
  $$C_{32}^6=\frac{32\times 31\times 30\times 29\times 28\times 27}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=906.192$$
• Số cách cho trường hợp này là $1\times 906.192=\; 906.192$.

Trường hợp 2.2: Chọn 1 quả bóng Loại A và 5 quả bóng Loại B.

• Số cách chọn 1 quả Loại A từ 8 quả là $C_8^1=8$. (Quả bóng này có thể là Xanh 1, Đỏ 10, v.v., không tạo thành cặp may mắn).
• Số cách chọn 5 quả Loại B từ 32 quả là $C_{32}^5$.
  $$C_{32}^5=\frac{32\times 31\times 30\times 29\times 28}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=201.376$$
• Số cách cho trường hợp này là $8\times 201.376=\; 1.611.008$.

Trường hợp 2.3: Chọn 2 quả bóng Loại A và 4 quả bóng Loại B.

• Số cách chọn 2 quả Loại A từ 8 quả mà không tạo thành cặp may mắn:
  • Tổng số cách chọn 2 quả từ 8 quả Loại A là $C_8^2=\frac{8\times 7}{2}=28$ cách.
  • Số cách chọn 2 quả tạo thành cặp may mắn (ví dụ: Xanh 1 và Xanh 10) là 4 cách (một cho mỗi màu).
  • Vậy, số cách chọn 2 quả Loại A mà không tạo thành cặp may mắn là $28-4=24$ cách.
• Số cách chọn 4 quả Loại B từ 32 quả là $C_{32}^4$.
  $$C_{32}^4=\frac{32\times 31\times 30\times 29}{4\times 3\times 2\times 1}=35.960$$
• Số cách cho trường hợp này là $24\times 35.960=\; 863.040$.

Trường hợp 2.4: Chọn 3 quả bóng Loại A và 3 quả bóng Loại B.

• Số cách chọn 3 quả Loại A từ 8 quả mà không tạo thành cặp may mắn:
  Để không có cặp may mắn, 3 quả bóng Loại A này phải thuộc 3 màu khác nhau.
  • Chọn 3 màu từ 4 màu: $C_4^3=4$ cách.
  • Với mỗi màu đã chọn, chúng ta phải chọn 1 trong 2 quả (số 1 hoặc số 10) để không tạo thành cặp. Vì có 3 màu được chọn, nên có $2\times 2\times 2=2^3=8$ cách.
  • Vậy, số cách chọn 3 quả Loại A mà không tạo thành cặp may mắn là $4\times 8=\; 32$ cách.
• Số cách chọn 3 quả Loại B từ 32 quả là $C_{32}^3$.
  $$C_{32}^3=\frac{32\times 31\times 30}{3\times 2\times 1}=4.960$$
• Số cách cho trường hợp này là $32\times 4.960=\; 158.720$.

Trường hợp 2.5: Chọn 4 quả bóng Loại A và 2 quả bóng Loại B.

• Số cách chọn 4 quả Loại A từ 8 quả mà không tạo thành cặp may mắn:
  Tương tự như trên, 4 quả bóng Loại A này phải thuộc 4 màu khác nhau.
  • Chọn 4 màu từ 4 màu: $C_4^4=1$ cách.
  • Với mỗi màu đã chọn, chúng ta chọn 1 trong 2 quả (số 1 hoặc số 10). Vì có 4 màu được chọn, nên có $2\times 2\times 2\times 2=2^4=16$ cách.
  • Vậy, số cách chọn 4 quả Loại A mà không tạo thành cặp may mắn là $1\times 16=\; 16$ cách.
• Số cách chọn 2 quả Loại B từ 32 quả là $C_{32}^2$.
  $$C_{32}^2=\frac{32\times 31}{2}=496$$
• Số cách cho trường hợp này là $16\times 496=\; 7.936$.

Trường hợp 2.6: Chọn 5 hoặc 6 quả bóng Loại A.

Không thể chọn 5 hoặc 6 quả bóng Loại A mà không tạo thành cặp may mắn. Vì chỉ có 4 màu, nếu chọn 5 quả Loại A, theo nguyên tắc Dirichlet (nguyên lý chuồng bồ câu), chắc chắn sẽ có ít nhất một màu có 2 quả được chọn, và đó chính là quả số 1 và số 10 của màu đó, tức là tạo thành một cặp may mắn.
Vậy, số cách cho trường hợp này là 0.

Tổng số cách chọn 6 quả bóng mà không có bất kỳ cặp may mắn nào là tổng của các trường hợp trên:

$906.192+\mathrm{1.611.008}+863.040+158.720+7.936=\mathrm{3.546.896}$

Bước 3: Tính số cách chọn 6 quả bóng sao cho có ít nhất một cặp may mắn.

Sử dụng nguyên lý phần bù:
Số cách = (Tổng số cách chọn 6 quả) – (Số cách chọn 6 quả không có cặp may mắn nào)
$=\mathrm{3.838.380}-\mathrm{3.546.896}$
$=291.484$

KẾT LUẬN:

Vậy, có 291.484 cách chọn ra 6 quả bóng từ hộp sao cho được ít nhất một cặp may mắn.