Chào em, thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết bài tập này theo đúng kiến thức trong sách giáo khoa Toán 11 nhé.

Đây là một bài toán tìm giới hạn của hàm số khi biến tiến tới dương vô cùng. Khi thay \(x \to +\infty\) vào biểu thức, ta thấy nó có dạng vô định \( \infty – \infty \). Đối với dạng này, phương pháp phổ biến nhất chúng ta được học là nhân và chia với biểu thức liên hợp.

Bước 1: Xác định biểu thức liên hợp
Biểu thức của chúng ta là \( \sqrt{x-1} – \sqrt{x} \).
Biểu thức liên hợp của nó là \( \sqrt{x-1} + \sqrt{x} \).

Bước 2: Nhân và chia với biểu thức liên hợp
Ta sẽ nhân cả tử và mẫu của biểu thức ban đầu với lượng liên hợp này.
\[ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x-1} – \sqrt{x}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x-1} – \sqrt{x})(\sqrt{x-1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x}} \]

Bước 3: Rút gọn tử số
Ở tử số, ta áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ: \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \).
Với \( a = \sqrt{x-1} \) và \( b = \sqrt{x} \), ta có:
\[ (\sqrt{x-1} – \sqrt{x})(\sqrt{x-1} + \sqrt{x}) = (\sqrt{x-1})^2 – (\sqrt{x})^2 = (x-1) – x = -1 \]
Thay kết quả này vào biểu thức giới hạn:
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x}} \]

Bước 4: Tính giới hạn cuối cùng
Bây giờ, ta sẽ tìm giới hạn của tử số và mẫu số riêng biệt:

• Giới hạn của tử số: \( \lim_{x \to +\infty} (-1) = -1 \) (vì -1 là một hằng số).
• Giới hạn của mẫu số: Ta có \( \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x-1} = +\infty \) và \( \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty \).
  Do đó, \( \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x-1} + \sqrt{x}) = +\infty \).

Theo quy tắc tìm giới hạn của một thương (khi tử là hằng số và mẫu tiến tới vô cùng), ta có:
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x}} = 0 \]

Kết luận:
Vậy, giới hạn của bài toán là 0.
\[ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x-1} – \sqrt{x}) = 0 \]

Hy vọng bài giải chi tiết này giúp em hiểu rõ cách làm. Chúc em học tốt nhé