Chào em, cô ở đây để giúp em giải bài tập này nhé. Em đừng lo lắng, đây là một dạng phương trình lượng giác rất cơ bản trong chương trình lớp 11. Chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết từng bước một thật cẩn thận nha.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Để giải phương trình này, phương pháp chung là đưa các hàm số lượng giác về cùng một cung (ở đây là cung \(x\)) và sau đó biến đổi về các dạng phương trình cơ bản mà chúng ta đã học.

Bước 1: Biến đổi phương trình bằng công thức nhân đôi

Phương trình của chúng ta có cả \( \cos(x) \) (cung \(x\)) và \( \sin(2x) \) (cung \(2x\)). Để giải được, ta cần đưa chúng về cùng một cung \(x\). Cô sẽ sử dụng công thức góc nhân đôi cho sin:

• Lý do: Công thức \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) giúp chuyển đổi cung \(2x\) về cung \(x\), làm xuất hiện nhân tử chung để chúng ta có thể biến phương trình về dạng tích.

Áp dụng công thức vào phương trình, ta có:
\( \cos(x) – 2(2\sin(x)\cos(x)) = 0 \)

\( \cos(x) – 4\sin(x)\cos(x) = 0 \)

Bước 2: Đặt nhân tử chung để đưa về phương trình tích

Đến đây, em có thể thấy cả hai số hạng đều chứa \( \cos(x) \). Ta sẽ đặt \( \cos(x) \) làm nhân tử chung.

• Lý do: Việc đưa phương trình về dạng tích \( A \cdot B = 0 \) cho phép chúng ta chia bài toán thành các trường hợp nhỏ hơn và đơn giản hơn: \( A = 0 \) hoặc \( B = 0 \).

Đặt nhân tử chung ta được:
\( \cos(x)(1 – 4\sin(x)) = 0 \)

Bước 3: Giải các phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình tích trên tương đương với việc giải hai trường hợp sau:

• Trường hợp 1: \( \cos(x) = 0 \)
  
  Đây là một phương trình lượng giác cơ bản (trường hợp đặc biệt). Nghiệm của phương trình này là:
  \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))
• Trường hợp 2: \( 1 – 4\sin(x) = 0 \)
  
  Ta biến đổi để tìm \( \sin(x) \):
  \( 4\sin(x) = 1 \)
  \( \sin(x) = \frac{1}{4} \)

  Vì giá trị \( \frac{1}{4} \) không phải là giá trị sin của một góc đặc biệt, chúng ta sẽ biểu diễn nghiệm qua hàm arcsin. Phương trình \( \sin(x) = a \) (với \( |a| \le 1 \)) có các họ nghiệm là:
  \[ \begin{cases} x = \arcsin(a) + k2\pi \\ x = \pi – \arcsin(a) + k2\pi \end{cases} \]
  Áp dụng vào bài toán, ta có hai họ nghiệm:
  
  \( x = \arcsin(\frac{1}{4}) + k2\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))
  
  \( x = \pi – \arcsin(\frac{1}{4}) + k2\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))

KẾT LUẬN

Vậy, phương trình đã cho có 3 họ nghiệm là:

• \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
• \( x = \arcsin(\frac{1}{4}) + k2\pi \)
• \( x = \pi – \arcsin(\frac{1}{4}) + k2\pi \)

(trong đó \( k \) là một số nguyên bất kỳ, ký hiệu \( k \in \mathbb{Z} \))

Hy vọng lời giải chi tiết này giúp em hiểu rõ bài toán. Chúc em học tốt nhé! Nếu có gì chưa hiểu, đừng ngần ngại hỏi lại cô.