Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô sẽ cùng các em giải một bài toán về hệ phương trình khá thú vị. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và tìm ra lời giải chi tiết từng bước nhé.

Bài toán yêu cầu chúng ta giải hệ phương trình sau:

\(\frac{45}{x + 3} + \frac{45}{x – 3} = \frac{25}{4}\)

Trước hết, chúng ta cần xác định điều kiện xác định của phương trình này.

Để phương trình có nghĩa, các mẫu số phải khác 0.

Do đó, ta có:

• \(x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3\)
• \(x – 3 \neq 0 \implies x \neq 3\)

Vậy, điều kiện xác định của phương trình là \(x \neq 3\) và \(x \neq -3\).

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành giải phương trình. Quan sát phương trình, ta thấy có các phân thức với biến \(x\) ở mẫu. Cách tiếp cận phổ biến trong trường hợp này là quy đồng mẫu số hoặc đặt ẩn phụ để đưa về dạng phương trình đơn giản hơn.

Ở đây, cô sẽ chọn phương pháp quy đồng mẫu số để đưa về phương trình bậc hai.

Mẫu số chung của các phân thức là \(4(x + 3)(x – 3)\).

Ta nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung này:

\(4(x + 3)(x – 3) \times \left( \frac{45}{x + 3} + \frac{45}{x – 3} \right) = 4(x + 3)(x – 3) \times \frac{25}{4}\)

Phân phối vế trái:

\(4(x + 3)(x – 3) \frac{45}{x + 3} + 4(x + 3)(x – 3) \frac{45}{x – 3} = (x + 3)(x – 3) \times 25\)

Rút gọn các biểu thức:

\(4(x – 3) \times 45 + 4(x + 3) \times 45 = 25(x^2 – 9)\)

Nhân các hệ số:

\(180(x – 3) + 180(x + 3) = 25(x^2 – 9)\)

Tiếp tục phân phối vế trái:

\(180x – 540 + 180x + 540 = 25x^2 – 225\)

Kết hợp các số hạng giống nhau ở vế trái:

\((180x + 180x) + (-540 + 540) = 25x^2 – 225\)

\(360x = 25x^2 – 225\)

Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành một phương trình bậc hai theo dạng chuẩn \(ax^2 + bx + c = 0\).

\(25x^2 – 360x – 225 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Trước hết, cô sẽ kiểm tra xem liệu có thể rút gọn phương trình bằng cách chia cho một ước chung lớn nhất của các hệ số hay không. Các hệ số là 25, -360, và -225. Cả ba số này đều chia hết cho 5.

Chia cả hai vế cho 5:

\(5x^2 – 72x – 45 = 0\)

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Với phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), biệt thức delta được tính bởi công thức:

\(\Delta = b^2 – 4ac\)

Trong phương trình \(5x^2 – 72x – 45 = 0\), ta có \(a = 5\), \(b = -72\), và \(c = -45\).

Tính biệt thức delta:

\(\Delta = (-72)^2 – 4 \times 5 \times (-45)\)

\(\Delta = 5184 – (-900)\)

\(\Delta = 5184 + 900\)

\(\Delta = 6084\)

Bây giờ, chúng ta cần tính căn bậc hai của delta.

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{6084}\)

Để tính căn bậc hai của 6084, ta có thể thử hoặc sử dụng máy tính.

\(\sqrt{6084} = 78\)

Vì delta lớn hơn 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Các nghiệm này được tính theo công thức:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\)

Áp dụng công thức cho phương trình của chúng ta:

\(x_1 = \frac{-(-72) + 78}{2 \times 5} = \frac{72 + 78}{10} = \frac{150}{10} = 15\)

\(x_2 = \frac{-(-72) – 78}{2 \times 5} = \frac{72 – 78}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}\)

Cuối cùng, chúng ta cần kiểm tra xem các nghiệm này có thỏa mãn điều kiện xác định ban đầu là \(x \neq 3\) và \(x \neq -3\) hay không.

Nghiệm \(x_1 = 15\). Vì \(15 \neq 3\) và \(15 \neq -3\), nên nghiệm này hợp lệ.

Nghiệm \(x_2 = -\frac{3}{5}\). Vì \(-\frac{3}{5} \neq 3\) và \(-\frac{3}{5} \neq -3\), nên nghiệm này cũng hợp lệ.

Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 15\) và \(x = -\frac{3}{5}\).

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 15, -\frac{3}{5} \right\}\).

Các em thấy đó, với phương pháp quy đồng mẫu số và áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta đã giải quyết bài toán một cách tường minh. Quan trọng là luôn nhớ kiểm tra điều kiện xác định của phương trình để loại bỏ các nghiệm ngoại lai nhé!