Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải một hệ phương trình khá thú vị. Khi gặp các phương trình có chứa ẩn ở mẫu, việc đầu tiên và quan trọng nhất là đặt điều kiện xác định để đảm bảo các phép toán của chúng ta là hợp lệ nhé!

Hệ phương trình đã cho là:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4 \quad &(1) \\
4y + 1 = 2 – \frac{y}{x} \quad &(2)
\end{cases}
\]

Bước 1: Đặt điều kiện xác định cho hệ phương trình

Để các biểu thức \( \frac{1}{x} \), \( \frac{1}{y} \) và \( \frac{y}{x} \) có nghĩa, chúng ta cần điều kiện:
\[ x \neq 0 \text{ và } y \neq 0 \]
Đây là điều kiện rất quan trọng, chúng ta cần nhớ để đối chiếu kết quả cuối cùng nhé.

Bước 2: Biến đổi các phương trình trong hệ

Chúng ta sẽ biến đổi từng phương trình để loại bỏ các phân số và làm cho chúng dễ giải hơn.

Biến đổi phương trình (1):

Phương trình (1) là \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4 \).
Để cộng hai phân số ở vế trái, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất là \( xy \).
\[ \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = 4 \]
\[ \frac{x+y}{xy} = 4 \]
Bây giờ, ta nhân cả hai vế với \( xy \) để loại bỏ mẫu số. (Vì \( x \neq 0, y \neq 0 \) nên \( xy \neq 0 \), phép nhân này hoàn toàn hợp lệ).
\[ x+y = 4xy \quad (1′) \]

Biến đổi phương trình (2):

Phương trình (2) là \( 4y + 1 = 2 – \frac{y}{x} \).
Mục tiêu là đưa các số hạng chứa ẩn về một vế và hằng số về vế còn lại. Thầy sẽ chuyển số hạng \( -\frac{y}{x} \) sang vế trái và hằng số \( 1 \) sang vế phải.
\[ 4y + \frac{y}{x} = 2 – 1 \]
\[ 4y + \frac{y}{x} = 1 \]
Để loại bỏ mẫu số \( x \), ta nhân cả hai vế với \( x \). (Vì \( x \neq 0 \), phép nhân này hợp lệ).
\[ 4yx + y = x \]
Sắp xếp lại cho dễ nhìn, ta có:
\[ y + 4xy = x \quad (2′) \]

Bước 3: Giải hệ phương trình mới

Bây giờ chúng ta có hệ phương trình tương đương (và đơn giản hơn) như sau:
\[
\begin{cases}
x+y = 4xy \quad &(1′) \\
y + 4xy = x \quad &(2′)
\end{cases}
\]
Chúng ta có thể dùng phương pháp thế để giải hệ này. Từ phương trình \( (1′) \), ta thấy có biểu thức \( 4xy \). Chúng ta cũng có \( 4xy \) trong phương trình \( (2′) \).
Thay \( 4xy \) từ phương trình \( (1′) \) (là \( x+y \)) vào phương trình \( (2′) \), ta được:
\[ y + (x+y) = x \]
Bây giờ, chúng ta rút gọn phương trình này:
\[ x + 2y = x \]
Chuyển \( x \) từ vế trái sang vế phải:
\[ 2y = x – x \]
\[ 2y = 0 \]
\[ y = 0 \]

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Chúng ta vừa tìm được \( y = 0 \). Tuy nhiên, hãy nhớ lại điều kiện xác định chúng ta đã đặt ở Bước 1: \( y \neq 0 \).
Kết quả \( y = 0 \) mâu thuẫn trực tiếp với điều kiện \( y \neq 0 \).
Điều này có nghĩa là không có giá trị nào của \( y \) (và do đó không có giá trị nào của \( x \)) thỏa mãn cả hai phương trình trong hệ ban đầu.

Vì vậy, chúng ta có thể kết luận rằng hệ phương trình đã cho không có nghiệm.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách làm bài tập dạng này, đặc biệt là tầm quan trọng của việc đặt điều kiện xác định ngay từ đầu. Chúc các em học tốt!