Xin chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán giải phương trình khá thú vị trong chương trình Toán học của chúng ta. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép cẩn thận nhé!

Bài toán yêu cầu chúng ta giải phương trình:
\(\frac{3}{7}x – 1 = \frac{1}{7}x \cdot (3x – 7)\)

Chúng ta sẽ thực hiện từng bước một để tìm ra giá trị của \(x\).

Bước 1: Phân phối và rút gọn một vế của phương trình.
Chúng ta sẽ bắt đầu với vế phải của phương trình. Ta có:
\(\frac{1}{7}x \cdot (3x – 7)\)
Nhân \(\frac{1}{7}x\) với từng hạng tử trong ngoặc:
\(\frac{1}{7}x \cdot 3x – \frac{1}{7}x \cdot 7\)
Thực hiện phép nhân:
\(\frac{3}{7}x^2 – x\)

Vậy, phương trình ban đầu trở thành:
\(\frac{3}{7}x – 1 = \frac{3}{7}x^2 – x\)

Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai.
Để giải phương trình bậc hai, chúng ta cần chuyển tất cả các hạng tử về một vế, sao cho vế còn lại bằng 0. Thông thường, chúng ta sẽ chuyển về vế có chứa \(x^2\) để hệ số của \(x^2\) là dương.
Chuyển hạng tử \(\frac{3}{7}x\) từ vế trái sang vế phải (đổi dấu):
\(-1 = \frac{3}{7}x^2 – x – \frac{3}{7}x\)
Chuyển hạng tử \(-1\) từ vế trái sang vế phải (đổi dấu):
\(0 = \frac{3}{7}x^2 – x – \frac{3}{7}x + 1\)

Bước 3: Rút gọn các hạng tử đồng dạng.
Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các hạng tử \(x\).
\(-x – \frac{3}{7}x\)
Để cộng trừ các phân số, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là 7.
\(-x = -\frac{7}{7}x\)
Vậy, \(-x – \frac{3}{7}x = -\frac{7}{7}x – \frac{3}{7}x = \frac{-7 – 3}{7}x = -\frac{10}{7}x\)

Phương trình bây giờ là:
\(0 = \frac{3}{7}x^2 – \frac{10}{7}x + 1\)

Để phương trình nhìn gọn gàng hơn, chúng ta có thể nhân cả hai vế với 7 để loại bỏ mẫu số:
\(0 \cdot 7 = \left( \frac{3}{7}x^2 – \frac{10}{7}x + 1 \right) \cdot 7\)
\(0 = 3x^2 – 10x + 7\)

Đây là một phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a = 3\), \(b = -10\), và \(c = 7\).

Bước 4: Giải phương trình bậc hai.
Có nhiều cách để giải phương trình bậc hai. Hôm nay, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tính delta (biệt thức) để tìm nghiệm.

Công thức tính delta là:
\[\Delta = b^2 – 4ac\]

Áp dụng vào phương trình của chúng ta:
\(a = 3\), \(b = -10\), \(c = 7\)
\(\Delta = (-10)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 7\)
\(\Delta = 100 – 12 \cdot 7\)
\(\Delta = 100 – 84\)
\(\Delta = 16\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai là:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\).

Nghiệm thứ nhất (\(x_1\)):
\(x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3}\)
\(x_1 = \frac{10 + 4}{6}\)
\(x_1 = \frac{14}{6}\)
Rút gọn phân số:
\(x_1 = \frac{7}{3}\)

Nghiệm thứ hai (\(x_2\)):
\(x_2 = \frac{-(-10) – \sqrt{16}}{2 \cdot 3}\)
\(x_2 = \frac{10 – 4}{6}\)
\(x_2 = \frac{6}{6}\)
\(x_2 = 1\)

Kết luận:
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{7}{3}\) và \(x = 1\).

Các em thấy không, chỉ cần chúng ta thực hiện từng bước một cách cẩn thận, từ việc phân phối, rút gọn đến việc áp dụng đúng các công thức, chúng ta hoàn toàn có thể giải được các bài toán phức tạp. Các em hãy về nhà ôn tập lại các bước này và thử sức với những bài toán tương tự nhé!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy ngay tại lớp. Chúc các em học tốt!