Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập rất thú vị về phương trình lượng giác kết hợp với hàm đa thức. Bài tập này có thể hơi lạ lẫm một chút vì chúng ta thường giải phương trình lượng giác thuần túy, nhưng với kỹ năng phân tích và vẽ đồ thị, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết được nó.

Bài tập của chúng ta là: Giải phương trình \( cosx = 1 – x^2 \)

Chúng ta sẽ tiếp cận bài toán này bằng phương pháp đồ thị, kết hợp với các kiến thức về hàm số mà chúng ta đã học.

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng hai hàm số

Để dễ dàng vẽ đồ thị và so sánh, chúng ta sẽ tách phương trình ban đầu thành hai vế, mỗi vế là một hàm số.

Vế trái: \( y_1 = cosx \)
Vế phải: \( y_2 = 1 – x^2 \)

Nghiệm của phương trình \( cosx = 1 – x^2 \) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số \( y_1 = cosx \) và \( y_2 = 1 – x^2 \).

Bước 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \( y_1 = cosx \)

Chúng ta đã quen thuộc với đồ thị của hàm \( y = cosx \). Đây là một hàm tuần hoàn với chu kỳ \( 2\pi \).
– Đồ thị hàm số \( y = cosx \) nằm trong khoảng \( [-1, 1] \).
– Điểm đặc biệt: \( cos0 = 1 \), \( cos(\pi) = -1 \), \( cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \), \( cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 \).
– Đồ thị có dạng hình “lượn sóng” đối xứng qua trục tung.

Bước 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \( y_2 = 1 – x^2 \)

Đây là một hàm đa thức bậc hai.
– Dạng của đồ thị là một parabol.
– Vì hệ số của \( x^2 \) là -1 (âm), nên parabol có bề lõm quay xuống dưới.
– Giao điểm với trục tung: Khi \( x = 0 \), \( y_2 = 1 – 0^2 = 1 \). Vậy đồ thị đi qua điểm (0, 1).
– Giao điểm với trục hoành: Khi \( y_2 = 0 \), ta có \( 1 – x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1 \). Vậy đồ thị đi qua các điểm (-1, 0) và (1, 0).
– Đỉnh của parabol: Vì đây là hàm \( y = -x^2 + 1 \), đỉnh sẽ nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-1)} = 0 \). Tọa độ đỉnh là (0, 1).

Bước 4: So sánh và tìm giao điểm của hai đồ thị

Bây giờ, chúng ta hãy đặt hai đồ thị này cạnh nhau trên cùng một hệ trục tọa độ.

– Tại \( x = 0 \):
\( y_1 = cos(0) = 1 \)
\( y_2 = 1 – 0^2 = 1 \)
Do đó, tại \( x = 0 \), hai đồ thị cắt nhau tại điểm (0, 1). Điều này có nghĩa là \( x = 0 \) là một nghiệm của phương trình.

– Xét khoảng \( x > 0 \):
Đồ thị \( y_1 = cosx \) bắt đầu giảm dần từ 1.
Đồ thị \( y_2 = 1 – x^2 \) cũng bắt đầu giảm dần từ 1, nhưng với tốc độ nhanh hơn so với \( y_1 = cosx \) khi \( x \) bắt đầu lớn hơn 0.
Cụ thể, ta có thể xét giá trị tại \( x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \).
\( y_1 = cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \)
\( y_2 = 1 – (\frac{\pi}{2})^2 \approx 1 – (1.57)^2 \approx 1 – 2.46 = -1.46 \)
Rõ ràng, khi \( x \) tăng, \( y_2 = 1 – x^2 \) giảm nhanh hơn \( y_1 = cosx \).
Chúng ta cũng biết rằng miền giá trị của \( y_1 = cosx \) là \( [-1, 1] \).
Khi \( x > 1 \), \( x^2 > 1 \), suy ra \( 1 – x^2 < 0 \). Do đó, với \( x > 1 \), đồ thị \( y_2 = 1 – x^2 \) nằm hoàn toàn dưới trục hoành, trong khi đồ thị \( y_1 = cosx \) vẫn nằm trong khoảng \( [-1, 1] \).
Khi \( x \) tiến ra xa khỏi 0 về phía dương, \( y_2 = 1 – x^2 \) sẽ nhanh chóng âm và càng âm hơn, còn \( y_1 = cosx \) sẽ dao động quanh trục hoành và không bao giờ xuống dưới -1. Vì vậy, sẽ không có giao điểm nào khác cho \( x > 0 \).

– Xét khoảng \( x < 0 \): Vì cả hai hàm số \( y_1 = cosx \) và \( y_2 = 1 - x^2 \) đều là hàm chẵn ( \( cos(-x) = cosx \) và \( 1 - (-x)^2 = 1 - x^2 \) ), đồ thị của chúng đối xứng qua trục tung. Do đó, nếu có giao điểm cho \( x > 0 \) (ngoại trừ \( x=0 \) đã xét), thì cũng sẽ có một giao điểm tương ứng cho \( x < 0 \). Tuy nhiên, chúng ta đã chỉ ra rằng không có giao điểm nào khác cho \( x > 0 \).
Vì vậy, cũng sẽ không có giao điểm nào khác cho \( x < 0 \). Bước 5: Kết luận

Từ việc phân tích đồ thị, chúng ta thấy rằng hai đồ thị \( y_1 = cosx \) và \( y_2 = 1 – x^2 \) chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất là (0, 1).
Hoành độ của điểm giao này chính là nghiệm của phương trình.

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \( x = 0 \).

Để hiểu rõ hơn, các em có thể thử vẽ đồ thị của hai hàm số này ra giấy hoặc sử dụng các công cụ vẽ đồ thị trực tuyến để quan sát. Các em sẽ thấy rõ ràng sự giao nhau chỉ xảy ra tại \( x = 0 \).

Các em có câu hỏi nào không?

Lưu ý thêm: Trong chương trình Toán lớp 11, chúng ta chưa học đến các phương pháp giải phương trình siêu việt như phương pháp dùng đạo hàm để xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm. Tuy nhiên, với kiến thức về đồ thị hàm số \( y = cosx \) và parabol \( y = 1 – x^2 \) mà chúng ta đã học, chúng ta hoàn toàn có thể suy luận ra nghiệm duy nhất của phương trình này.

Chúng ta sẽ gặp những bài toán tương tự hoặc phức tạp hơn ở các lớp trên. Quan trọng là chúng ta nắm vững các kiến thức cơ bản và có tư duy phân tích tốt.