Giải phương trình lượng giác sau;
2sinx – √3 = 0
2sinx – √3 = 0
Bài toán của chúng ta là giải phương trình:
\[2\sin x – \sqrt{3} = 0\]
Chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách cẩn thận.
Bước 1: Chuyển vế và rút gọn để cô lập \(\sin x\).
Đầu tiên, chúng ta sẽ chuyển hằng số \(\sqrt{3}\) sang vế phải:
\[2\sin x = \sqrt{3}\]
Tiếp theo, chúng ta chia cả hai vế cho 2 để tìm giá trị của \(\sin x\):
\[\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Bước 2: Tìm góc cơ bản (góc \(\alpha\)) mà \(\sin \alpha\) bằng \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Chúng ta đã biết rằng giá trị \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) là một giá trị đặc biệt của hàm sin. Cụ thể, \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Vậy, phương trình của chúng ta trở thành:
\[\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\]
Bước 3: Áp dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình \(\sin x = \sin \alpha\).
Khi giải phương trình \(\sin x = \sin \alpha\), chúng ta có hai họ nghiệm tổng quát sau:
1. \(x = \alpha + k2\pi\)
2. \(x = \pi – \alpha + k2\pi\)
Trong đó, \(k\) là một số nguyên bất kỳ (\(k \in \mathbb{Z}\)).
Bước 4: Thay thế giá trị của \(\alpha\) vào công thức nghiệm tổng quát và hoàn thiện lời giải.
Với \(\alpha = \frac{\pi}{3}\), chúng ta sẽ có:
Trường hợp 1:
\[x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\]
với \(k \in \mathbb{Z}\).
Trường hợp 2:
\[x = \pi – \frac{\pi}{3} + k2\pi\]
Để đơn giản hóa biểu thức này, chúng ta quy đồng mẫu số cho \(\pi\):
\[x = \frac{3\pi}{3} – \frac{\pi}{3} + k2\pi\]
\[x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi\]
với \(k \in \mathbb{Z}\).
Vậy, phương trình đã cho có hai họ nghiệm là:
\[x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\]
hoặc
\[x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi\]
với \(k \in \mathbb{Z}\).
Các em cần nhớ rằng \(k\) có thể là bất kỳ số nguyên nào (ví dụ: …, -2, -1, 0, 1, 2, …), mỗi giá trị của \(k\) sẽ cho ta một nghiệm cụ thể của phương trình.
Hy vọng qua phần trình bày chi tiết này, các em đã nắm rõ cách giải phương trình lượng giác cơ bản này. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé! Chúc các em học tốt!
\(~rai~\)
\(2\sin x-\sqrt{3}=0\\\Leftrightarrow \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{array}\right.\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi.\end{array}\right.\quad(k\in\mathbb{Z})\\\text{Vậy S=}\left\{\dfrac{\pi}{3}+k2\pi;\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\Big|k\in\mathbb{Z}\right\}.\)
\(2sinx-\sqrt[]{3}=0\)
\(⇔sinx=\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}=sin(\dfrac{\pi}{3})\)
\(⇔\)\(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\end{array} \right.\) \((k∈Z)\)