Chào các em, thầy rất vui được cùng các em giải bài tập này. Đây là một dạng phương trình lượng giác rất phổ biến trong chương trình Toán lớp 11 của chúng ta. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước giải nhé.

BÀI GIẢI CHI TIẾT

Phương trình của chúng ta là:

\( \sin(2x) + \sin(3x) = 0 \)

Bước 1: Phân tích và lựa chọn phương pháp giải
Ta nhận thấy đây là phương trình có dạng tổng của hai hàm số sin. Để giải quyết dạng toán này một cách hiệu quả, chúng ta sẽ sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Việc này sẽ giúp đưa phương trình về dạng tích \( A \cdot B = 0 \), một dạng mà chúng ta đã biết cách giải.

Trước hết, chúng ta hãy cùng nhắc lại công thức biến đổi tổng thành tích cho sin mà các em đã học:
\[ \sin a + \sin b = 2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \]

Bước 2: Áp dụng công thức và biến đổi phương trình
Áp dụng công thức trên vào phương trình ban đầu, với \(a = 3x\) và \(b = 2x\) (ta có thể viết lại phương trình thành \( \sin(3x) + \sin(2x) = 0 \) để tính toán thuận lợi hơn), ta được:

\( 2 \sin\left(\frac{3x+2x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x-2x}{2}\right) = 0 \)

Rút gọn biểu thức trong sin và cos:

\( \Leftrightarrow 2 \sin\left(\frac{5x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \)

Chia cả hai vế cho 2, ta được phương trình dạng tích:

\( \Leftrightarrow \sin\left(\frac{5x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \)

Bước 3: Giải phương trình tích
Một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong các thừa số của nó bằng 0. Do đó, phương trình trên tương đương với hai trường hợp sau:
\[ \begin{cases} \sin\left(\frac{5x}{2}\right) = 0 \\ \text{hoặc} \\ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \end{cases} \]
Bây giờ, chúng ta sẽ giải quyết từng trường hợp.

Trường hợp 1: \( \sin\left(\frac{5x}{2}\right) = 0 \)

Đây là một phương trình lượng giác cơ bản. Các em nhớ rằng \( \sin u = 0 \) khi và chỉ khi \( u = k\pi \), với \(k\) là một số nguyên bất kỳ (\( k \in \mathbb{Z} \)).

Áp dụng vào trường hợp này, ta có:

\( \frac{5x}{2} = k\pi \)

Giải tìm \(x\):

\( \Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{5} \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))

Trường hợp 2: \( \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \)

Tương tự, đây cũng là một phương trình lượng giác cơ bản. Ta biết rằng \( \cos v = 0 \) khi và chỉ khi \( v = \frac{\pi}{2} + k\pi \), với \( k \in \mathbb{Z} \).

Áp dụng vào trường hợp này, ta có:

\( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \)

Giải tìm \(x\):

\( \Leftrightarrow x = \pi + 2k\pi \)

Ta có thể viết gọn lại là: \( x = (2k+1)\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))

Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình
Tổng hợp nghiệm từ cả hai trường hợp, ta có tất cả các nghiệm của phương trình ban đầu.

Vậy, phương trình đã cho có các họ nghiệm là:
\[ x = \frac{2k\pi}{5} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
và
\[ x = (2k+1)\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Như vậy là chúng ta đã giải quyết xong bài toán. Các em thấy đấy, bằng cách nắm vững các công thức biến đổi lượng giác, chúng ta có thể đơn giản hóa bài toán một cách đáng kể. Hãy chắc chắn rằng các em đã ghi nhớ và hiểu rõ cách áp dụng các công thức này nhé.

Chúc các em học tốt