Giải phương trình :
Sin^6x+cos^6x+1/8cos4x=0
Sin^6x+cos^6x+1/8cos4x=0
Bài toán yêu cầu chúng ta giải phương trình:
Sin^6x + cos^6x + 1/8 cos4x = 0
Chúng ta sẽ đi từng bước một để xử lý bài toán này nhé.
Bước 1: Biến đổi biểu thức Sin^6x + cos^6x
Các em còn nhớ hằng đẳng thức đáng nhớ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) không nào? Chúng ta sẽ áp dụng nó vào đây.
Ta có:
Sin^6x + cos^6x = (sin^2x)^3 + (cos^2x)^3
Đặt a = sin^2x và b = cos^2x.
Vậy ta có:
(sin^2x)^3 + (cos^2x)^3 = (sin^2x + cos^2x)((sin^2x)^2 – sin^2x cos^2x + (cos^2x)^2)
Chúng ta biết rằng sin^2x + cos^2x = 1.
Do đó, biểu thức trở thành:
1 * (sin^4x – sin^2x cos^2x + cos^4x)
= sin^4x + cos^4x – sin^2x cos^2x
Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi sin^4x + cos^4x.
Ta có:
sin^4x + cos^4x = (sin^2x + cos^2x)^2 – 2 sin^2x cos^2x
Vì sin^2x + cos^2x = 1, nên:
sin^4x + cos^4x = 1^2 – 2 sin^2x cos^2x = 1 – 2 sin^2x cos^2x
Thay vào biểu thức ban đầu:
sin^6x + cos^6x = (1 – 2 sin^2x cos^2x) – sin^2x cos^2x
= 1 – 3 sin^2x cos^2x
Chúng ta cũng có công thức hạ bậc cho sin^2x cos^2x:
sin^2x cos^2x = (1/2 2 sinx cosx)^2 = (1/2 sin2x)^2 = 1/4 sin^2(2x)
Vậy, sin^6x + cos^6x = 1 – 3 * (1/4 sin^2(2x))
= 1 – 3/4 sin^2(2x)
Bước 2: Biến đổi cos4x
Chúng ta biết công thức cos2a = 1 – 2sin^2a.
Vậy, cos4x = cos(2 * 2x) = 1 – 2sin^2(2x).
Bước 3: Thay thế vào phương trình ban đầu
Phương trình ban đầu là:
Sin^6x + cos^6x + 1/8 cos4x = 0
Thay các biểu thức đã biến đổi vào:
(1 – 3/4 sin^2(2x)) + 1/8 * (1 – 2sin^2(2x)) = 0
Bước 4: Rút gọn và giải phương trình theo sin^2(2x)
Chúng ta có:
1 – 3/4 sin^2(2x) + 1/8 – 1/4 sin^2(2x) = 0
Nhóm các hằng số và các số hạng chứa sin^2(2x):
(1 + 1/8) + (-3/4 sin^2(2x) – 1/4 sin^2(2x)) = 0
9/8 – (3/4 + 1/4) sin^2(2x) = 0
9/8 – 1 * sin^2(2x) = 0
9/8 – sin^2(2x) = 0
Suy ra:
sin^2(2x) = 9/8
Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận
Các em hãy nhớ lại, giá trị của sin^2(a) luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1, tức là 0 <= sin^2(a) <= 1 với mọi số thực a. Tuy nhiên, ở đây chúng ta có sin^2(2x) = 9/8. Vì 9/8 lớn hơn 1, nên phương trình sin^2(2x) = 9/8 là vô nghiệm. Do đó, phương trình ban đầu Sin^6x + cos^6x + 1/8 cos4x = 0 vô nghiệm. Các em đã hiểu rõ các bước giải chưa nào? Nếu có câu hỏi nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy nhé.
Có: \(sin^4x+cos^4x\)
\(=(sin^2x)^2+(cos^2x)^2+2sin^2xcos^2x-2sin^2xcos^2x\)
\(= (sin^2x+cos^2x)^2-2(sinxcosx)^2\)
\(=1-2(sinxcosx)^2\)
————————————
Mình phân tích cụm này trước cho dễ hiểu nhé:
\(sin^6x+cos^6x\)
\(= (sin^2x)^3+(cos^2x)^3\)
\(=(sin^2x+cos^2x).(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)\)
\(=1.(1-2sin^2xcos^2x-sin^2xcos^2x)\)
\(=1-3sin^2xcos^2x\)
\(=1- 3. 1/2 sin2x. 1/2sin2x\)
\(=1-3/4sin^2 2x\)
\(=1-3/8(1-cos4x)\)
\(=5/8 + 3/8cos4x\)
————————–
Thay vào phương trình đầu bài ta có:
\(5/8 + 3/8cos4x+1/8cos4x=0\)
\(<=> 1/2cos4x=-5/8\)
\(<=> cos4x=-5/4\)
\(=> \text{pt vô nghiệm}\)