Giải phương trình sinx= 1/4
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng phương trình lượng giác quen thuộc: giải phương trình sinx = 1/4.
Chúng ta sẽ áp dụng những kiến thức đã học về hàm số sin và cách giải phương trình lượng giác cơ bản.
Các em chú ý theo dõi từng bước nhé!
Bước 1: Xác định dạng phương trình
Phương trình đã cho có dạng sinx = a, với a = 1/4.
Đây là dạng phương trình lượng giác cơ bản nhất.
Bước 2: Tìm nghiệm đặc biệt (nếu có) và sử dụng định nghĩa hàm sin
Chúng ta biết rằng giá trị của hàm sin luôn nằm trong khoảng [-1, 1].
Ở đây, 1/4 nằm trong khoảng này, nên phương trình chắc chắn có nghiệm.
Khi giải phương trình sinx = a, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa và biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác hoặc sử dụng công thức nghiệm.
Trong trường hợp này, 1/4 không phải là một giá trị lượng giác đặc biệt (như 0, 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2, 1, -1/2, …). Do đó, chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu arcsin (cung sin) để biểu diễn nghiệm.
Bước 3: Áp dụng công thức nghiệm tổng quát cho phương trình sinx = a
Công thức nghiệm tổng quát cho phương trình sinx = a (với -1 <= a <= 1) là:
\[ x = \arcsin(a) + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi – \arcsin(a) + k2\pi \]
Trong đó, k là một số nguyên bất kỳ (k ∈ Z).
Giải thích tại sao lại có hai họ nghiệm này:
Trên đường tròn lượng giác, có hai điểm mà tung độ của nó bằng a (trong trường hợp này là 1/4).
Một điểm tương ứng với góc arcsin(a).
Điểm còn lại đối xứng qua trục tung, có góc tương ứng là pi – arcsin(a).
Do tính tuần hoàn của hàm sin với chu kì 2pi, chúng ta cộng thêm k2pi để có tất cả các nghiệm.
Bước 4: Thay số và viết kết quả
Áp dụng công thức vào bài toán cụ thể: sinx = 1/4.
Ta có a = 1/4.
Vậy, nghiệm của phương trình là:
- x = arcsin(1/4) + k2π
- x = π – arcsin(1/4) + k2π
với k ∈ Z.
Lưu ý:
– arcsin(1/4) là giá trị góc mà sin của nó bằng 1/4. Giá trị này thường được tính bằng máy tính hoặc để nguyên dưới dạng kí hiệu.
– Chúng ta có thể gộp hai họ nghiệm này lại thành một biểu thức gọn hơn nếu muốn, tuy nhiên, hai họ nghiệm riêng biệt này là cách trình bày chuẩn và rõ ràng nhất.
Kết luận:
Vậy, phương trình sinx = 1/4 có tập nghiệm là:
\[ S = \{ \arcsin(1/4) + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ \pi – \arcsin(1/4) + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \]
Các em hãy xem lại các bước và ghi nhớ công thức nghiệm tổng quát này nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô!
\(sinx=1/4<=>[(x=arc sin(1/4)+k2pi),(x=pi-arc sin(1/4)+k2pi):}\quad (k in ZZ)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \([(x=arc sin(1/4)+k2pi),(x=pi-arc sin(1/4)+k2pi):}\quad (k in ZZ)\)