Giải phương trình: a) 3x^2 -2x =0 b) x^2 – x – 2+√2 =0

Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được hướng dẫn các em giải các bài tập Toán 9 hôm nay. Đây là những dạng phương trình bậc hai cơ bản mà chúng ta đã học trong chương trình. Chúng ta cùng nhau ôn lại và giải quyết từng bài một thật chi tiết nhé!

Giải bài toán:

a) $3x^2-2x=0$

Lời giải:

Đây là một phương trình bậc hai dạng khuyết hệ số tự do $c$. Đối với dạng này, phương pháp tối ưu và đơn giản nhất là đặt nhân tử chung.

Bước 1: Phân tích vế trái thành nhân tử.

Chúng ta nhận thấy cả hai hạng tử $3x^2$ và $-2x$ đều có nhân tử chung là $x$. Ta đặt $x$ ra ngoài làm nhân tử chung:

$$x\left(3x-2\right)=0$$

Bước 2: Áp dụng quy tắc về tích bằng 0.

Chúng ta biết rằng, nếu tích của hai thừa số bằng 0 thì ít nhất một trong hai thừa số đó phải bằng 0. Tức là, nếu $A\cdot B=0$ thì $A=0$ hoặc $B=0$.

Áp dụng vào phương trình của chúng ta, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: $x=0$

Đây là một nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: $3x-2=0$

Giải phương trình bậc nhất này để tìm nghiệm thứ hai:

$$3x=2$$

$$x=\frac{2}{3}$$

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là $x_1=0$ và $x_2=\frac{2}{3}$.

—

b) $x^2-x-2+\sqrt{2}=0$

Lời giải:

Đây là một phương trình bậc hai đầy đủ có dạng $a{x}^2+bx+c=0$. Vì hệ số tự do $c$ có chứa căn thức, việc nhẩm nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử có thể gặp khó khăn. Do đó, chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai thông qua biệt thức Delta ($\Delta$).

Bước 1: Xác định các hệ số $a$, $b$, $c$ của phương trình.

Phương trình đã cho có dạng $x^2-x+\left(-2+\sqrt{2}\right)=0$.

Ta có:

• $a=1$ (hệ số của $x^2$)
• $b=-1$ (hệ số của $x$)
• $c=-2+\sqrt{2}$ (hệ số tự do)

Bước 2: Tính biệt thức $\Delta$.

Công thức tính biệt thức là $\Delta =b^2-4ac$.

Thay các giá trị $a$, $b$, $c$ vào công thức:

$$\Delta ={(-1)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2+\sqrt{2}\right)$$

$$\Delta =1-4\left(-2+\sqrt{2}\right)$$

$$\Delta =1+8-4\sqrt{2}$$

$$\Delta =9-4\sqrt{2}$$

Bước 3: Kiểm tra điều kiện của $\Delta$ và tính căn bậc hai của $\Delta$.

Chúng ta cần xác định xem $\Delta \lessgtr 0$. Vì $9=\sqrt{81}$ và $4\sqrt{2}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{32}$, ta thấy $\sqrt{81}>\sqrt{32}$ nên $9>4\sqrt{2}$. Do đó, $\Delta =9-4\sqrt{2}>0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Để tính $\sqrt{\Delta }$, chúng ta cố gắng biến đổi $\Delta$ về dạng bình phương của một hiệu hoặc tổng:

$$\Delta =9-4\sqrt{2}$$

Ta nhận thấy $4\sqrt{2}=2\cdot 2\cdot \sqrt{2}$. Cố gắng đưa về dạng ${(A-B)}^2=A^2-2AB+B^2$.

Chọn $A=2$ và $B=\sqrt{2}$. Khi đó $A^2=2^2=4$ và $B^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$. Tổng $A^2+B^2=4+2=6$, không bằng 9.

Thử chọn $A=\sqrt{7}$ và $B=\sqrt{2}$? Hoặc $A=3$…

Ta có thể tách $9=7+2$ để tạo thành bình phương:

$$\Delta =7-2\cdot 2\sqrt{2}+2$$

Nhận thấy $7$ là ${\left(\sqrt{7}\right)}^2$ và $2$ là ${\left(\sqrt{2}\right)}^2$. Tuy nhiên, khi đó $2AB=2\sqrt{7}\sqrt{2}=2\sqrt{14}$, không khớp với $4\sqrt{2}$.

Hãy xem xét $\Delta =9-4\sqrt{2}$ dưới dạng ${(x-y)}^2=x^2-2xy+y^2$.

Ta có $2xy=4\sqrt{2}$, suy ra $xy=2\sqrt{2}$.

Có thể chọn $x=2$, $y=\sqrt{2}$. Khi đó $x^2=4$, $y^2=2$. Tổng $x^2+y^2=4+2=6$. Không khớp với $9$.

Hoặc chọn $x=\sqrt{8}$, $y=\sqrt{1}$? Không phù hợp.

Chọn $x=\sqrt{2}\cdot k$ và $y=\frac{2}{k}$.

Thử cách khác: $9-4\sqrt{2}=8-4\sqrt{2}+1$.

Ta có $8={\left(2\sqrt{2}\right)}^2$ và $1=1^2$.

Khi đó:

$$\Delta ={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot \left(2\sqrt{2}\right)\cdot 1+1^2$$

$$\Delta ={(2\sqrt{2}-1)}^2$$

Vậy, $\sqrt{\Delta }=\sqrt{{(2\sqrt{2}-1)}^2}=\left|2\sqrt{2}-1\right|$.

Vì $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$ và $\sqrt{8}>\sqrt{1}=1$, nên $2\sqrt{2}-1>0$.

Do đó, $\sqrt{\Delta }=2\sqrt{2}-1$.

Bước 4: Áp dụng công thức nghiệm.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai là $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.

Thay các giá trị $a$, $b$, $\sqrt{\Delta }$ vào công thức:

$$x_{1,2}=\frac{-(-1)\pm (2\sqrt{2}-1)}{2\cdot 1}$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm (2\sqrt{2}-1)}{2}$$

Bước 5: Tính từng nghiệm.

Nghiệm $x_1$:

$$x_1=\frac{1+(2\sqrt{2}-1)}{2}$$

$$x_1=\frac{1+2\sqrt{2}-1}{2}$$

$$x_1=\frac{2\sqrt{2}}{2}$$

$$x_1=\sqrt{2}$$

Nghiệm $x_2$:

$$x_2=\frac{1-(2\sqrt{2}-1)}{2}$$

$$x_2=\frac{1-2\sqrt{2}+1}{2}$$

$$x_2=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}$$

$$x_2=1-\sqrt{2}$$

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $x_1=\sqrt{2}$ và $x_2=1-\sqrt{2}$.