một người thợ nhận làm 100 sản phẩm trong một thời gian với năng suất dự định.Kh…

Giải bài toán:

Đây là bài toán thuộc dạng toán có lời văn giải bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Với học sinh lớp 9, chúng ta ưu tiên phương pháp lập phương trình để giải.

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Chúng ta cần tìm năng suất dự định ban đầu, vậy ta sẽ gọi năng suất dự định này là ẩn số.

Gọi năng suất dự định ban đầu của người thợ là $x$ (sản phẩm/ngày).

Điều kiện: Năng suất phải là một số dương, nên $x>>0$.
Hơn nữa, khi làm 40 sản phẩm, người đó làm thấp hơn năng suất dự định 2 sản phẩm/ngày, tức là $x-2$ cũng phải là một số dương. Do đó, $x-2>>0$, suy ra $x>>2$.

Lý do: Việc đặt ẩn và điều kiện cho ẩn giúp chúng ta xác định rõ ràng đại lượng cần tìm và giới hạn các giá trị có thể có của nghiệm, tránh những kết quả vô lý trong thực tế.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng liên quan theo ẩn.

Bài toán liên quan đến ba đại lượng: Tổng số sản phẩm, Năng suất, và Thời gian. Chúng ta có công thức: Thời gian = Tổng số sản phẩm / Năng suất.

• Tổng số sản phẩm cần làm: 100 sản phẩm.
• Năng suất dự định: $x$ (sản phẩm/ngày).
• Thời gian dự định hoàn thành công việc: $\frac{100}{x}$ (ngày).

Theo đề bài, công việc được chia làm hai giai đoạn:

• Giai đoạn 1: Làm 40 sản phẩm đầu tiên.
  Năng suất thực tế trong giai đoạn này: $x-2$ (sản phẩm/ngày) (vì làm thấp hơn dự định 2 sản phẩm/ngày).
  Thời gian làm 40 sản phẩm đầu tiên: $\frac{40}{x-2}$ (ngày).
• Giai đoạn 2: Làm số sản phẩm còn lại.
  Số sản phẩm còn lại là: $100-40=60$ (sản phẩm).
  Năng suất thực tế trong giai đoạn này: $x+2$ (sản phẩm/ngày) (vì tăng thêm 2 sản phẩm/ngày so với ban đầu để hoàn thành đúng thời hạn).
  Thời gian làm 60 sản phẩm còn lại: $\frac{60}{x+2}$ (ngày).

Lý do: Biểu diễn các đại lượng theo ẩn giúp chúng ta chuyển đổi các thông tin từ đề bài thành các biểu thức toán học, chuẩn bị cho việc lập phương trình.

Bước 3: Lập phương trình.

Đề bài nói rằng người thợ “hoàn thành đúng thời gian quy định”. Điều này có nghĩa là tổng thời gian thực tế người thợ làm việc phải bằng với thời gian dự định ban đầu.

Vậy, ta có phương trình:

$$\frac{40}{x-2}+\frac{60}{x+2}=\frac{100}{x}$$

Lý do: Phương trình là cầu nối giữa các đại lượng đã biểu diễn và điều kiện “hoàn thành đúng thời gian quy định” của bài toán. Giải phương trình này sẽ cho ta giá trị của ẩn cần tìm.

Bước 4: Giải phương trình.

Ta sẽ giải phương trình vừa lập được:

$$\frac{40}{x-2}+\frac{60}{x+2}=\frac{100}{x}$$

Tìm mẫu số chung của vế trái là $(x-2)(x+2)=x^2-4$:

$$\frac{40(x+2)+60(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{100}{x}$$

Thực hiện phép tính ở tử số:

$$\frac{40x+80+60x-120}{x^2-4}=\frac{100}{x}$$
$$\frac{100x-40}{x^2-4}=\frac{100}{x}$$

Nhân chéo hai vế của phương trình:

$$x(100x-40)=100(x^2-4)$$

Khai triển và rút gọn:

$$100x^2-40x=100x^2-400$$

Chuyển các hạng tử chứa $x^2$ sang một vế, các hạng tử chứa $x$ và hằng số sang vế còn lại:

$$100x^2-100x^2-40x=-400$$
$$-40x=-400$$

Chia cả hai vế cho $-40$:

$$x=\frac{-400}{-40}$$
$$x=10$$

Lý do: Việc giải phương trình là bước quan trọng nhất để tìm ra giá trị của ẩn. Chúng ta sử dụng các phép biến đổi đại số cơ bản (nhân chéo, khai triển, rút gọn) mà các em đã được học ở lớp 8 và 9.

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Giá trị $x=10$ có thỏa mãn điều kiện $x>>2$ không? Có, $10>>2$ là đúng.

Vậy, năng suất dự định ban đầu của người thợ là 10 sản phẩm/ngày.

Kiểm tra lại bài toán (không bắt buộc nhưng rất nên làm):

• Thời gian dự định: $\frac{100}{10}=10$ ngày.
• Thời gian làm 40 sản phẩm đầu: Năng suất $10-2=8$ sp/ngày. Thời gian $\frac{40}{8}=5$ ngày.
• Thời gian làm 60 sản phẩm còn lại: Năng suất $10+2=12$ sp/ngày. Thời gian $\frac{60}{12}=5$ ngày.
• Tổng thời gian thực tế: $5+5=10$ ngày.

Tổng thời gian thực tế bằng thời gian dự định. Vậy kết quả của chúng ta là chính xác.

Kết luận:

Vậy, năng suất dự định ban đầu của người thợ là 10 sản phẩm/ngày.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm rõ cách giải bài toán năng suất bằng cách lập phương trình. Chú ý các bước gọi ẩn, đặt điều kiện, biểu diễn đại lượng và lập phương trình để không bỏ sót ý nào nhé!