Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán phương trình khá thú vị, đó là:

(x+1)(x+2)(x+3)^2(x+4)(x+5)=360

Các em thấy đó, đây là một phương trình bậc cao. Nếu chúng ta nhân tung hết ra thì sẽ rất phức tạp và có thể gặp khó khăn. Vậy làm thế nào để giải quyết nó một cách hiệu quả? Chúng ta sẽ cùng nhau đi từng bước nhé!

Bước 1: Nhóm các thừa số một cách hợp lý

Các em hãy quan sát các thừa số trong vế trái của phương trình: (x+1), (x+2), (x+3), (x+3), (x+4), (x+5).
Chúng ta thấy có một “chốt chặn” ở giữa là (x+3). Để tạo ra sự đối xứng, chúng ta hãy thử nhóm các cặp thừa số có tổng các hằng số bằng nhau.
Ta có:
(x+1) + (x+5) = 2x + 6
(x+2) + (x+4) = 2x + 6

Vậy, chúng ta sẽ nhóm các thừa số như sau:
[(x+1)(x+5)] [(x+2)(x+4)] (x+3)^2 = 360

Bước 2: Thực hiện phép nhân trong các nhóm đã nhóm

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân các cặp thừa số đã nhóm lại:
(x+1)(x+5) = x^2 + 5x + x + 5 = x^2 + 6x + 5
(x+2)(x+4) = x^2 + 4x + 2x + 8 = x^2 + 6x + 8

Thay kết quả này vào phương trình ban đầu:
(x^2 + 6x + 5) (x^2 + 6x + 8) (x+3)^2 = 360

Bước 3: Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đơn giản hơn

Các em để ý thấy trong hai biểu thức (x^2 + 6x + 5) và (x^2 + 6x + 8) có chung phần là (x^2 + 6x). Đây là một dấu hiệu rất tốt để chúng ta đặt ẩn phụ.
Tuy nhiên, chúng ta còn có (x+3)^2. Nếu đặt t = x^2 + 6x thì (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 = t + 9.
Vậy, chúng ta sẽ đặt:
t = x^2 + 6x + 6

Lúc này, ta có:
x^2 + 6x + 5 = t – 1
x^2 + 6x + 8 = t + 2
(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 = t + 3

Thay thế vào phương trình, ta được:
(t – 1)(t + 2)(t + 3) = 360

Bước 4: Khai triển và giải phương trình theo ẩn phụ t

Bây giờ chúng ta sẽ tiến hành nhân các biểu thức với nhau:
(t – 1)(t + 2) = t^2 + 2t – t – 2 = t^2 + t – 2

Vậy phương trình trở thành:
(t^2 + t – 2)(t + 3) = 360

Tiếp tục nhân:
t^2(t + 3) + t(t + 3) – 2(t + 3) = 360
t^3 + 3t^2 + t^2 + 3t – 2t – 6 = 360
t^3 + 4t^2 + t – 6 = 360
t^3 + 4t^2 + t – 366 = 0

Đây là một phương trình bậc ba. Để giải phương trình này, chúng ta sẽ thử các ước của 366.
Các em thử thay t = 6 vào phương trình:
6^3 + 4*(6^2) + 6 – 366
= 216 + 4*36 + 6 – 366
= 216 + 144 + 6 – 366
= 366 – 366 = 0

Vậy, t = 6 là một nghiệm của phương trình bậc ba.
Điều này có nghĩa là (t – 6) là một nhân tử của đa thức t^3 + 4t^2 + t – 366.
Chúng ta có thể sử dụng phép chia đa thức hoặc nhẩm nghiệm để tách nhân tử.
(t – 6)(t^2 + 10t + 61) = 0

Bây giờ chúng ta xét từng nhân tử:

* Trường hợp 1: t – 6 = 0
=> t = 6

* Trường hợp 2: t^2 + 10t + 61 = 0
Để xét phương trình bậc hai này, chúng ta tính biệt thức Delta:
Delta = b^2 – 4ac = 10^2 – 4 1 61 = 100 – 244 = -144
Vì Delta < 0, phương trình t^2 + 10t + 61 = 0 vô nghiệm. Vậy, nghiệm duy nhất của phương trình theo ẩn phụ t là t = 6. Bước 5: Tìm lại giá trị của x

Chúng ta đã đặt t = x^2 + 6x + 6. Bây giờ, chúng ta thay t = 6 vào để tìm x:
x^2 + 6x + 6 = 6
x^2 + 6x = 0

Đây là một phương trình bậc hai quen thuộc. Chúng ta có thể đặt nhân tử chung:
x(x + 6) = 0

Suy ra:
x = 0 hoặc x + 6 = 0

Vậy, chúng ta có hai nghiệm là:
x = 0 hoặc x = -6

Kết luận:

Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = -6.

Chúc các em ôn tập tốt và luôn yêu thích môn Toán!