Chào các em học sinh thân mến của lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải một số bài tập về phương trình lượng giác theo đúng nội dung sách giáo khoa nhé. Các em hãy chuẩn bị giấy bút và cùng thầy/cô bắt đầu nào!

Bài tập 1:

a) Giải phương trình: sinx – cosx – sin2x + 1 = 0

Thầy/cô sẽ hướng dẫn các em từng bước một.

Bước 1: Biến đổi phương trình về các dạng cơ bản.
Ta nhận thấy có số hạng sin2x. Chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc hoặc công thức nhân đôi. Ở đây, công thức nhân đôi sẽ phù hợp: sin2x = 2sinxcosx.
Phương trình trở thành:
sinx – cosx – 2sinxcosx + 1 = 0

Bước 2: Nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc đặt ẩn phụ.
Các em hãy thử nhóm hạng tử:
(sinx + 1) – (cosx + 2sinxcosx) = 0
Cách nhóm này có vẻ chưa hiệu quả lắm. Chúng ta thử nhóm khác xem sao.
Hãy thử nhóm hạng tử sinx – cosx và -sin2x + 1.
(sinx – cosx) – (sin2x – 1) = 0
Chúng ta biết rằng sin2x – 1 = -(1 – sin2x).
Phương trình trở thành:
(sinx – cosx) – (sin2x – 1) = 0
Chúng ta cũng có thể nhóm như sau:
(1 – sin2x) – (cosx – sinx) = 0
Để xuất hiện nhân tử chung (sinx – cosx), chúng ta sẽ biến đổi 1 – sin2x.
Ta có công thức 1 = sin^2x + cos^2x.
Vậy, 1 – sin2x = sin^2x + cos^2x – 2sinxcosx = (sinx – cosx)^2.
Thay vào phương trình, ta được:
(sinx – cosx)^2 – (cosx – sinx) = 0
Nhận thấy cosx – sinx = -(sinx – cosx).
Đặt u = sinx – cosx. Phương trình trở thành:
u^2 – (-u) = 0
u^2 + u = 0

Bước 3: Giải phương trình theo ẩn phụ hoặc biến đổi tiếp.
Ta có phương trình u^2 + u = 0. Đặt u làm nhân tử chung:
u(u + 1) = 0
Điều này dẫn đến hai trường hợp:
Trường hợp 1: u = 0
sinx – cosx = 0
chia cả hai vế cho cosx (vì cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình này):
tanx – 1 = 0
tanx = 1
x = arctan(1) + kπ
x = \(\frac{\pi}{4} + k\pi\), với k ∈ Z.

Trường hợp 2: u + 1 = 0
u = -1
sinx – cosx = -1
Đây là phương trình lượng giác cơ bản dạng a sinx + b cosx = c. Chúng ta sẽ chia cả hai vế cho \(\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\).
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)sinx – \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)cosx = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)
Chúng ta nhận thấy \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}\).
Thay vào, ta có:
\(\sin x \cos\frac{\pi}{4} – \cos x \sin\frac{\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Sử dụng công thức sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b:
sin(x – \(\frac{\pi}{4}\)) = -\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Ta biết sin(\(-\frac{\pi}{4}\)) = -\(\frac{1}{\sqrt{2}}\).
Do đó, có hai trường hợp:
x – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{-\pi}{4} + m2\pi\)
x = m2\(\pi\), với m ∈ Z.

Hoặc:
x – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\pi – \frac{-\pi}{4} + m2\pi\)
x – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\pi + \frac{\pi}{4} + m2\pi\)
x – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{5\pi}{4} + m2\pi\)
x = \(\frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + m2\pi\)
x = \(\frac{6\pi}{4} + m2\pi\)
x = \(\frac{3\pi}{2} + m2\pi\), với m ∈ Z.

Kết luận: Nghiệm của phương trình là:
x = \(\frac{\pi}{4} + k\pi\), k ∈ Z
x = m2\(\pi\), m ∈ Z
x = \(\frac{3\pi}{2} + m2\pi\), m ∈ Z

Bài tập 2:

b) Giải phương trình: \(\frac{\cos x – \sin 2x}{2\cos^2 x – \sin x – 1} = \sqrt{3}\)

Trước hết, chúng ta cần xác định điều kiện xác định của phương trình. Mẫu số phải khác 0.
2\(\cos^2\)x – sinx – 1 ≠ 0
Ta sử dụng công thức \(\cos^2\)x = 1 – \(\sin^2\)x.
2(1 – \(\sin^2\)x) – sinx – 1 ≠ 0
2 – 2\(\sin^2\)x – sinx – 1 ≠ 0
-2\(\sin^2\)x – sinx + 1 ≠ 0
2\(\sin^2\)x + sinx – 1 ≠ 0

Đặt t = sinx, với -1 ≤ t ≤ 1. Phương trình trở thành:
2t^2 + t – 1 ≠ 0
Chúng ta tìm nghiệm của phương trình 2t^2 + t – 1 = 0.
Delta = 1^2 – 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9.
t = \(\frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2(2)}\) = \(\frac{-1 \pm 3}{4}\).
t1 = \(\frac{-1 + 3}{4}\) = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\).
t2 = \(\frac{-1 – 3}{4}\) = \(\frac{-4}{4}\) = -1.

Vậy, điều kiện xác định là:
sinx ≠ \(\frac{1}{2}\) => x ≠ \(\frac{\pi}{6} + n2\pi\) và x ≠ \(\frac{5\pi}{6} + n2\pi\), n ∈ Z.
sinx ≠ -1 => x ≠ \(\frac{-\pi}{2} + m2\pi\), m ∈ Z.

Bây giờ, chúng ta quay lại giải phương trình.
\(\frac{\cos x – 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x – \sin x – 1} = \sqrt{3}\)
Nhân chéo hai vế:
\(\cos x – 2\sin x \cos x = \sqrt{3}(2\cos^2 x – \sin x – 1)\)
\(\cos x (1 – 2\sin x) = \sqrt{3}(2\cos^2 x – \sin x – 1)\)

Chúng ta nhận thấy mẫu số 2\(\cos^2\)x – sinx – 1 đã được phân tích ở trên thành -(2\(\sin^2\)x + sinx – 1).
Và 2\(\sin^2\)x + sinx – 1 = (2sinx – 1)(sinx + 1).
Vậy, mẫu số là -(2sinx – 1)(sinx + 1) = (1 – 2sinx)(sinx + 1).

Phương trình trở thành:
\(\cos x (1 – 2\sin x) = \sqrt{3}(1 – 2\sin x)(\sin x + 1)\)
Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:
\(\cos x (1 – 2\sin x) – \sqrt{3}(1 – 2\sin x)(\sin x + 1) = 0\)
Đặt nhân tử chung (1 – 2sinx):
(1 – 2sinx) [ \(\cos x – \sqrt{3}(\sin x + 1)\) ] = 0

Điều này cho chúng ta hai trường hợp:

Trường hợp 1: 1 – 2sinx = 0
2sinx = 1
sinx = \(\frac{1}{2}\)
Theo điều kiện xác định, trường hợp này không có nghiệm. Tuy nhiên, nếu chúng ta chưa xét điều kiện xác định ngay từ đầu thì sẽ có nghiệm: x = \(\frac{\pi}{6} + n2\pi\) và x = \(\frac{5\pi}{6} + n2\pi\). Chúng ta sẽ kiểm tra lại điều kiện sau.

Trường hợp 2: \(\cos x – \sqrt{3}(\sin x + 1) = 0\)
\(\cos x – \sqrt{3}\sin x – \sqrt{3} = 0\)
\(\cos x – \sqrt{3}\sin x = \sqrt{3}\)
Đây là phương trình lượng giác cơ bản dạng a cosx + b sinx = c.
Chia cả hai vế cho \(\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\).
\(\frac{1}{2}\cos x – \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Chúng ta nhận thấy \(\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}\) và \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}\).
\(\sin\frac{\pi}{6}\cos x – \cos\frac{\pi}{6}\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Sử dụng công thức sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b:
sin(\(\frac{\pi}{6}\) – x) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ta biết sin(\(\frac{\pi}{3}\)) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Do đó, có hai trường hợp:

2a) \(\frac{\pi}{6}\) – x = \(\frac{\pi}{3} + p2\pi\)
-x = \(\frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{6} + p2\pi\)
-x = \(\frac{2\pi – \pi}{6} + p2\pi\)
-x = \(\frac{\pi}{6} + p2\pi\)
x = \(-\frac{\pi}{6} – p2\pi\), với p ∈ Z.

2b) \(\frac{\pi}{6}\) – x = \(\pi – \frac{\pi}{3} + p2\pi\)
\(\frac{\pi}{6}\) – x = \(\frac{3\pi – \pi}{3} + p2\pi\)
\(\frac{\pi}{6}\) – x = \(\frac{2\pi}{3} + p2\pi\)
-x = \(\frac{2\pi}{3} – \frac{\pi}{6} + p2\pi\)
-x = \(\frac{4\pi – \pi}{6} + p2\pi\)
-x = \(\frac{3\pi}{6} + p2\pi\)
-x = \(\frac{\pi}{2} + p2\pi\)
x = \(-\frac{\pi}{2} – p2\pi\), với p ∈ Z.

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra lại với điều kiện xác định.
Với x = \(-\frac{\pi}{6} – p2\pi\):
sinx = sin(\(-\frac{\pi}{6}\) – p2\(\pi\)) = sin(\(-\frac{\pi}{6}\)) = -\(\frac{1}{2}\).
sinx ≠ \(\frac{1}{2}\) và sinx ≠ -1. Vậy nghiệm này hợp lệ.

Với x = \(-\frac{\pi}{2} – p2\pi\):
sinx = sin(\(-\frac{\pi}{2}\) – p2\(\pi\)) = sin(\(-\frac{\pi}{2}\)) = -1.
Theo điều kiện xác định, sinx ≠ -1. Vậy nghiệm này bị loại.

Quay lại Trường hợp 1: 1 – 2sinx = 0 => sinx = \(\frac{1}{2}\).
Ta có các nghiệm x = \(\frac{\pi}{6} + n2\pi\) và x = \(\frac{5\pi}{6} + n2\pi\).
Theo điều kiện xác định, sinx ≠ \(\frac{1}{2}\), nên các nghiệm này cũng bị loại.

Kết luận: Nghiệm của phương trình là x = \(-\frac{\pi}{6} – p2\pi\), p ∈ Z.
(Chúng ta có thể viết lại thành x = \(\frac{\pi}{6} + q2\pi\) bằng cách đổi dấu p).

Bài tập 3:

c) Giải phương trình: sinx + cosx = 2√2 sinx cosx

Bước 1: Nhận dạng phương trình và đặt ẩn phụ.
Vế trái có dạng sinx + cosx. Vế phải có dạng 2sinxcosx. Chúng ta có thể liên hệ với hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\).
Đặt t = sinx + cosx.
Chúng ta bình phương hai vế của t:
t^2 = (sinx + cosx)^2
t^2 = sin^2x + cos^2x + 2sinxcosx
Ta biết sin^2x + cos^2x = 1.
t^2 = 1 + 2sinxcosx
Suy ra, 2sinxcosx = t^2 – 1.

Bước 2: Đặt điều kiện cho ẩn phụ.
Với t = sinx + cosx, ta có thể viết lại dưới dạng t = \(\sqrt{2}\)sin(x + \(\frac{\pi}{4}\)).
Vì -1 ≤ sin(x + \(\frac{\pi}{4}\)) ≤ 1, nên -\(\sqrt{2}\) ≤ \(\sqrt{2}\)sin(x + \(\frac{\pi}{4}\)) ≤ \(\sqrt{2}\).
Vậy, -\(\sqrt{2}\) ≤ t ≤ \(\sqrt{2}\).

Bước 3: Thế ẩn phụ vào phương trình và giải.
Phương trình ban đầu là sinx + cosx = 2√2 sinx cosx.
Thay t = sinx + cosx và 2sinxcosx = t^2 – 1 vào, ta được:
t = √2 (t^2 – 1)
t = √2 t^2 – √2
√2 t^2 – t – √2 = 0

Đây là một phương trình bậc hai theo biến t. Chúng ta giải phương trình này.
Delta = (-1)^2 – 4(√2)(-√2) = 1 + 8 = 9.
t = \(\frac{1 \pm \sqrt{9}}{2\sqrt{2}}\) = \(\frac{1 \pm 3}{2\sqrt{2}}\).

Có hai trường hợp cho t:
t1 = \(\frac{1 + 3}{2\sqrt{2}}\) = \(\frac{4}{2\sqrt{2}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) = √2.
t2 = \(\frac{1 – 3}{2\sqrt{2}}\) = \(\frac{-2}{2\sqrt{2}}\) = -\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Bước 4: Kiểm tra điều kiện của ẩn phụ và tìm nghiệm x.

Trường hợp 1: t = √2.
Chúng ta kiểm tra điều kiện -\(\sqrt{2}\) ≤ t ≤ \(\sqrt{2}\). t = √2 thỏa mãn.
sinx + cosx = √2
Chia cả hai vế cho √2:
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)sinx + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)cosx = 1
sin(x + \(\frac{\pi}{4}\)) = 1
x + \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{\pi}{2} + n2\pi\), với n ∈ Z.
x = \(\frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} + n2\pi\)
x = \(\frac{\pi}{4} + n2\pi\), với n ∈ Z.

Trường hợp 2: t = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Chúng ta kiểm tra điều kiện -\(\sqrt{2}\) ≤ t ≤ \(\sqrt{2}\). t = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) thỏa mãn.
sinx + cosx = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Chia cả hai vế cho √2:
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)sinx + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)cosx = -\(\frac{1}{2}\)
sin(x + \(\frac{\pi}{4}\)) = -\(\frac{1}{2}\)
Ta biết sin(\(-\frac{\pi}{6}\)) = -\(\frac{1}{2}\).
Do đó, có hai trường hợp:
x + \(\frac{\pi}{4}\) = \(-\frac{\pi}{6} + p2\pi\)
x = \(-\frac{\pi}{6} – \frac{\pi}{4} + p2\pi\)
x = \(\frac{-2\pi – 3\pi}{12} + p2\pi\)
x = \(-\frac{5\pi}{12} + p2\pi\), với p ∈ Z.

Hoặc:
x + \(\frac{\pi}{4}\) = \(\pi – (-\frac{\pi}{6}) + p2\pi\)
x + \(\frac{\pi}{4}\) = \(\pi + \frac{\pi}{6} + p2\pi\)
x + \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{7\pi}{6} + p2\pi\)
x = \(\frac{7\pi}{6} – \frac{\pi}{4} + p2\pi\)
x = \(\frac{14\pi – 3\pi}{12} + p2\pi\)
x = \(\frac{11\pi}{12} + p2\pi\), với p ∈ Z.

Kết luận: Nghiệm của phương trình là:
x = \(\frac{\pi}{4} + n2\pi\), n ∈ Z
x = \(-\frac{5\pi}{12} + p2\pi\), p ∈ Z
x = \(\frac{11\pi}{12} + p2\pi\), p ∈ Z

Thầy/cô hy vọng rằng các em đã hiểu rõ từng bước giải của ba bài tập này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em hãy mạnh dạn hỏi nhé. Chúng ta sẽ tiếp tục luyện tập thêm trong các buổi học sau. Chúc các em học tốt!