Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất thú vị về phương trình bậc ba. Đây là một dạng bài thường gặp trong chương trình Toán 9 của chúng ta, và việc nắm vững cách giải sẽ giúp các em tự tin hơn rất nhiều. Hãy cùng bắt đầu nhé!

Đề bài: Giải phương trình \(x^3 – 7x + 6 = 0\)

Đây là một phương trình bậc ba. Trong chương trình lớp 9, chúng ta chưa học công thức tổng quát để giải phương trình bậc ba (công thức Cardano), mà chủ yếu dựa vào phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Mục tiêu của chúng ta là đưa phương trình bậc ba về dạng phương trình tích, gồm một nhân tử bậc nhất và một nhân tử bậc hai, hoặc ba nhân tử bậc nhất.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Để phân tích đa thức \(P(x) = x^3 – 7x + 6\) thành nhân tử, trước tiên, chúng ta sẽ thử tìm một nghiệm nguyên của phương trình. Theo định lý về nghiệm nguyên, nếu phương trình có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của hệ số tự do (số không chứa x), ở đây là 6.

Các ước của 6 là: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).

Chúng ta sẽ lần lượt thử các giá trị này:

• Thử với \(x = 1\):

\[1^3 – 7(1) + 6 = 1 – 7 + 6 = 0\]

À! Chúng ta thấy rằng \(x = 1\) là một nghiệm của phương trình. Điều này rất tuyệt vời! Bởi vì nếu \(x = a\) là một nghiệm của đa thức \(P(x)\) thì đa thức đó sẽ có nhân tử là \((x – a)\).

Như vậy, vì \(x = 1\) là nghiệm, nên \((x – 1)\) là một nhân tử của đa thức \(x^3 – 7x + 6\).

Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử.

Vì chúng ta biết \((x – 1)\) là một nhân tử, chúng ta sẽ tìm cách biến đổi đa thức ban đầu để xuất hiện nhân tử chung \((x – 1)\) trong các nhóm hạng tử.

\[x^3 – 7x + 6 = 0\]

Chúng ta cần tách các hạng tử sao cho mỗi nhóm đều có \((x – 1)\). Bắt đầu từ \(x^3\):

• Để có \((x – 1)\) từ \(x^3\), chúng ta cần trừ đi \(x^2\): \(x^3 – x^2\).
• Vì đã trừ \(x^2\), chúng ta phải cộng \(x^2\) để không làm thay đổi giá trị của biểu thức: \(\underline{x^3 – x^2} + x^2\).
• Tiếp theo là \(+x^2\). Để có \((x – 1)\) từ \(x^2\), chúng ta cần trừ đi \(x\): \(+x^2 – x\).
• Vì đã trừ \(x\), chúng ta phải cộng \(x\) để không làm thay đổi giá trị. Hạng tử ban đầu là \(-7x\), nên sau khi cộng \(x\), chúng ta còn lại: \(-7x + x = -6x\). Tức là: \(\underline{x^3 – x^2} + \underline{x^2 – x} – 6x\).
• Cuối cùng, chúng ta còn hạng tử \(-6x\) và số tự do \(+6\). Rõ ràng \(-6x + 6\) có thể viết thành \(-6(x – 1)\).

Vậy, chúng ta sẽ tách các hạng tử như sau:

\[x^3 – x^2 + x^2 – x – 6x + 6 = 0\]

Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử lại và đặt nhân tử chung:

\[(x^3 – x^2) + (x^2 – x) – (6x – 6) = 0\]

\[x^2(x – 1) + x(x – 1) – 6(x – 1) = 0\]

Tuyệt vời! Bây giờ chúng ta đã thấy nhân tử chung \((x – 1)\) xuất hiện. Đặt \((x – 1)\) ra ngoài:

\[(x – 1)(x^2 + x – 6) = 0\]

Bước 3: Giải phương trình tích.

Một tích bằng 0 khi ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Vậy chúng ta có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: \(x – 1 = 0\)

\[x = 1\]

Đây chính là nghiệm mà chúng ta đã tìm thấy ở Bước 1.

• Trường hợp 2: \(x^2 + x – 6 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai cơ bản. Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử (tìm hai số có tổng bằng 1 và tích bằng -6, đó là 3 và -2) hoặc sử dụng công thức nghiệm.

Phân tích thành nhân tử:

\[x^2 + 3x – 2x – 6 = 0\]

\[x(x + 3) – 2(x + 3) = 0\]

\[(x + 3)(x – 2) = 0\]

Tiếp tục giải phương trình tích này:

• \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
• \(x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)

Bước 4: Kết luận các nghiệm của phương trình.

Vậy, phương trình đã cho có ba nghiệm là:

\[x_1 = 1\]

\[x_2 = -3\]

\[x_3 = 2\]

Kiểm tra lại (Tùy chọn):

• Với \(x = 1\): \(1^3 – 7(1) + 6 = 1 – 7 + 6 = 0\) (Đúng)
• Với \(x = -3\): \((-3)^3 – 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0\) (Đúng)
• Với \(x = 2\): \(2^3 – 7(2) + 6 = 8 – 14 + 6 = 0\) (Đúng)

Cả ba nghiệm đều đúng.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm rõ hơn cách giải phương trình bậc ba bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Chìa khóa là tìm được một nghiệm đầu tiên để tìm nhân tử \((x – a)\), sau đó khéo léo tách các hạng tử. Cứ luyện tập thường xuyên, các em sẽ thành thạo ngay thôi!