Giải pt: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

Xin chào các em học sinh! Thầy rất vui được hướng dẫn các em giải một bài toán lượng giác quen thuộc và thú vị trong chương trình Toán 11. Bài toán hôm nay của chúng ta là giải phương trình:

Giải phương trình:

$$cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0$$

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này một cách chi tiết, từng bước một nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhóm các số hạng và áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích.

Giải thích phương pháp: Khi gặp phương trình có tổng của nhiều hàm cosin với các góc tạo thành cấp số cộng (như ở đây là $x$, $2x$, $3x$, $4x$), một phương pháp hiệu quả là nhóm các số hạng “đối xứng” và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Điều này giúp chúng ta đưa phương trình về dạng tích, dễ dàng giải hơn. Cụ thể, chúng ta sẽ nhóm số hạng đầu với số hạng cuối, số hạng thứ hai với số hạng thứ ba.

Công thức biến đổi tổng thành tích của cosin mà chúng ta sẽ sử dụng là:

$$cosA+cosB=2cos\left(\frac{A+B}{2}\right)cos\left(\frac{A–B}{2}\right)$$

Áp dụng vào phương trình đã cho:
$$\left(cosx+cos4x\right)+\left(cos,2,x,+,cos,3,x\right)=0$$

Biến đổi từng nhóm:

• Đối với nhóm $cosx+cos4x$:
  $$cosx+cos4x=2cos\left(\frac{x+4x}{2}\right)cos\left(\frac{x–4x}{2}\right)$$
  $$=2cos\left(\frac{5x}{2}\right)cos\left(–,\frac{3x}{2}\right)=2cos\left(\frac{5x}{2}\right)cos\left(\frac{3x}{2}\right)$$
  (Vì $cos\left(–\alpha \right)=cos\alpha$)
• Đối với nhóm $cos2x+cos3x$:
  $$cos2x+cos3x=2cos\left(\frac{2x+3x}{2}\right)cos\left(\frac{2x–3x}{2}\right)$$
  $$=2cos\left(\frac{5x}{2}\right)cos\left(–,\frac{x}{2}\right)=2cos\left(\frac{5x}{2}\right)cos\left(\frac{x}{2}\right)$$

Thay kết quả vào phương trình ban đầu, ta được:

$$2cos\left(\frac{5x}{2}\right)cos\left(\frac{3x}{2}\right)+2cos\left(\frac{5x}{2}\right)cos\left(\frac{x}{2}\right)=0$$

Bước 2: Đặt thừa số chung.

Giải thích phương pháp: Sau khi biến đổi tổng thành tích, chúng ta thường thấy xuất hiện các thừa số chung. Việc đặt thừa số chung sẽ giúp đưa phương trình về dạng tích của các biểu thức bằng 0, đây là dạng cơ bản để giải các phương trình.

Ta thấy $2cos\left(\frac{5x}{2}\right)$ là thừa số chung, ta đặt ra ngoài:

$$2cos\left(\frac{5x}{2}\right)\left[cos\left(\frac{3x}{2}\right)+cos\left(\frac{x}{2}\right)\right]=0$$

Bước 3: Tiếp tục biến đổi tổng thành tích cho biểu thức trong ngoặc.

Giải thích phương pháp: Biểu thức trong ngoặc vẫn là tổng của hai hàm cosin, ta tiếp tục sử dụng công thức tổng thành tích để đưa nó về dạng gọn nhất, giúp phương trình cuối cùng hoàn toàn là dạng tích.

Áp dụng công thức $cosA+cosB=2cos\left(\frac{A+B}{2}\right)cos\left(\frac{A–B}{2}\right)$ cho phần trong ngoặc:

$$cos\left(\frac{3x}{2}\right)+cos\left(\frac{x}{2}\right)=2cos\left(\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{3x}{2}–\frac{x}{2}}{2}\right)$$
$$=2cos\left(\frac{\frac{4x}{2}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{2x}{2}}{2}\right)=2cos\left(\frac{2x}{2}\right)cos\left(\frac{x}{2}\right)=2cosxcos\left(\frac{x}{2}\right)$$

Thay kết quả này vào phương trình ở Bước 2, ta được:
$$2cos\left(\frac{5x}{2}\right)\left[2cosxcos\left(\frac{x}{2}\right)\right]=0$$
$$4cos\left(\frac{5x}{2}\right)cosxcos\left(\frac{x}{2}\right)=0$$

Bước 4: Giải các phương trình cơ bản.

Giải thích phương pháp: Phương trình tích bằng 0 khi ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Đây là bước cuối cùng để tìm ra các giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình. Chúng ta cần nhớ công thức nghiệm tổng quát của phương trình $cosu=0$ là $u=\frac{\pi }{2}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Từ phương trình $4cos\left(\frac{5x}{2}\right)cosxcos\left(\frac{x}{2}\right)=0$, ta có ba trường hợp:

Trường hợp 1: $cos\left(\frac{5x}{2}\right)=0$

$$\frac{5x}{2}=\pi 2+k\pi$$
$$5x=\pi +2k\pi$$
$$x=\frac{\pi }{5}+\frac{2k\pi }{5}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$

Trường hợp 2: $cosx=0$

$$x=\frac{\pi }{2}+m\pi \left(m,\in ,\mathbb{Z}\right)$$

Trường hợp 3: $cos\left(\frac{x}{2}\right)=0$

$$\frac{x}{2}=\pi 2+n\pi$$
$$x=\pi +2n\pi$$
$$x=\left(2,n,+,1\right)\pi \left(n,\in ,\mathbb{Z}\right)$$

Bước 5: Tổng hợp và rút gọn các nghiệm (nếu có).

Giải thích phương pháp: Đôi khi, các tập nghiệm từ các trường hợp khác nhau có thể trùng lặp hoặc tập nghiệm này là tập con của tập nghiệm kia. Việc kiểm tra và tổng hợp giúp chúng ta đưa ra tập nghiệm cuối cùng một cách gọn gàng và không bị thừa.

Ta xét xem các nghiệm từ Trường hợp 3 có nằm trong Trường hợp 1 hay không:

Nếu $x=\left(2n+1\right)\pi$ (nghiệm của Trường hợp 3), thì ta thay vào biểu thức $\frac{5x}{2}$:

$$\frac{5x}{2}=\frac{5\left(2,n,+,1\right)\pi }{2}=\frac{\left(10,n,+,5\right)\pi }{2}$$

Vì $10n+5$ luôn là một số lẻ với mọi $n\in \mathbb{Z}$, nên $\frac{\left(10n+5\right)\pi }{2}$ luôn có dạng $\frac{\pi }{2}+sốnguy·\pi$. Điều này có nghĩa là $cos\left(\frac{5x}{2}\right)$ luôn bằng 0.

Do đó, các nghiệm của Trường hợp 3 đã được bao gồm trong nghiệm của Trường hợp 1. Ta không cần liệt kê riêng nghiệm của Trường hợp 3 nữa.

Vậy, tập hợp nghiệm của phương trình là sự kết hợp của nghiệm Trường hợp 1 và Trường hợp 2.

Kết luận:

Các nghiệm của phương trình là:

$$x=\pi 5+2k\pi 5$$

hoặc

$$x=\pi 2+m\pi$$

trong đó $k,m\in \mathbb{Z}$.

Thầy hy vọng lời giải này chi tiết và dễ hiểu đối với tất cả các em. Chúc các em học tốt môn Toán!