Xin chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất hay và thường gặp trong chương trình Toán 11 về phương trình lượng giác. Đây là dạng bài tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước, cụ thể là tìm nghiệm âm lớn nhất.

Chúng ta cùng đi vào bài giải chi tiết nhé!

Bài giải:

1. Giải phương trình lượng giác cơ bản:
   
   Phương trình đã cho là: \( \cos ( 5x – 45 ° ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   
   Chúng ta biết rằng \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
   
   Do đó, phương trình trở thành: \( \cos ( 5x – 45 ° ) = \cos 30^\circ \)
   
   Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản \(\cos A = \cos B\), ta có:
   
   \[ A = B + k360^\circ \]
   hoặc
   \[ A = -B + k360^\circ \]
   (Với \( k \) là một số nguyên, tức là \( k \in \mathbb{Z} \)).
   
   Áp dụng vào phương trình của chúng ta, ta có hai trường hợp sau:

   Trường hợp 1:
   
   \( 5x – 45^\circ = 30^\circ + k360^\circ \)
   
   Chuyển \( -45^\circ \) sang vế phải:
   
   \( 5x = 30^\circ + 45^\circ + k360^\circ \)
   
   \( 5x = 75^\circ + k360^\circ \)
   
   Chia cả hai vế cho 5 để tìm \( x \):
   
   \( x = \frac{75^\circ}{5} + \frac{k360^\circ}{5} \)
   
   \( x = 15^\circ + k72^\circ \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))

   Trường hợp 2:
   
   \( 5x – 45^\circ = -30^\circ + k360^\circ \)
   
   Chuyển \( -45^\circ \) sang vế phải:
   
   \( 5x = -30^\circ + 45^\circ + k360^\circ \)
   
   \( 5x = 15^\circ + k360^\circ \)
   
   Chia cả hai vế cho 5 để tìm \( x \):
   
   \( x = \frac{15^\circ}{5} + \frac{k360^\circ}{5} \)
   
   \( x = 3^\circ + k72^\circ \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))

   Vậy, tập nghiệm của phương trình là:
   
   \( x = 15^\circ + k72^\circ \) hoặc \( x = 3^\circ + k72^\circ \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)).

2. Tìm các nghiệm âm và chọn nghiệm âm lớn nhất:
   
   Chúng ta cần tìm nghiệm âm lớn nhất, tức là \( x_0 < 0 \) và \( x_0 \) phải là giá trị lớn nhất trong tất cả các nghiệm âm của phương trình.
   Ta sẽ xét từng trường hợp nghiệm để tìm các nghiệm âm:

   Trường hợp 1: \( x = 15^\circ + k72^\circ \)
   
   Để \( x \) là nghiệm âm, ta phải có \( x < 0 \):
   \( 15^\circ + k72^\circ < 0 \)
   \( k72^\circ < -15^\circ \)
   \( k < -\frac{15}{72} \)
   Rút gọn phân số: \( k < -\frac{5}{24} \) (hay \( k < -0.208... \)).
   Vì \( k \) là số nguyên, để \( x \) là nghiệm âm lớn nhất thì \( k \) phải là số nguyên lớn nhất thỏa mãn điều kiện \( k < -0.208... \). Giá trị nguyên lớn nhất của \( k \) là \( -1 \).
   Thay \( k = -1 \) vào công thức nghiệm:
   
   \( x = 15^\circ + (-1) \cdot 72^\circ \)
   
   \( x = 15^\circ – 72^\circ \)
   
   \( x = -57^\circ \)

   Trường hợp 2: \( x = 3^\circ + k72^\circ \)
   
   Để \( x \) là nghiệm âm, ta phải có \( x < 0 \):
   \( 3^\circ + k72^\circ < 0 \)
   \( k72^\circ < -3^\circ \)
   \( k < -\frac{3}{72} \)
   Rút gọn phân số: \( k < -\frac{1}{24} \) (hay \( k < -0.0416... \)).
   Vì \( k \) là số nguyên, để \( x \) là nghiệm âm lớn nhất thì \( k \) phải là số nguyên lớn nhất thỏa mãn điều kiện \( k < -0.0416... \). Giá trị nguyên lớn nhất của \( k \) là \( -1 \).
   Thay \( k = -1 \) vào công thức nghiệm:
   
   \( x = 3^\circ + (-1) \cdot 72^\circ \)
   
   \( x = 3^\circ – 72^\circ \)
   
   \( x = -69^\circ \)
   
   (Chú ý: Nếu \( k = 0 \), \( x = 3^\circ \), đây là một nghiệm dương, không thỏa mãn yêu cầu của đề bài).

3. So sánh các nghiệm âm tìm được:
   
   Từ hai trường hợp trên, chúng ta tìm được hai nghiệm âm lớn nhất tương ứng là \( -57^\circ \) và \( -69^\circ \).
   
   Để tìm nghiệm âm lớn nhất trong tất cả, ta so sánh hai giá trị này:
   
   Vì \( -57^\circ > -69^\circ \).
   
   Vậy, nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là \( x_0 = -57^\circ \).

Kết luận:

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \( \cos ( 5x – 45 ° ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) là \( x_0 = -57^\circ \).

Hy vọng với phần trình bày chi tiết này, các em đã nắm rõ cách giải bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé! Chúc các em học tốt!