Chào các em học sinh thân mến, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài tập về phương trình bậc cao, đây là những bài tập đòi hỏi sự khéo léo trong việc nhóm các hạng tử và sử dụng các hằng đẳng thức đã học. Chúng ta sẽ đi vào chi tiết từng bài.

Bài tập a)

\( (2x+1)(x+1)^2(2x+3)-18=0 \)

Để giải bài toán này, thầy gợi ý các em nên nhóm các thừa số lại sao cho tổng các hệ số của x trong hai thừa số là như nhau.

Quan sát đề bài, ta thấy:
Thừa số thứ nhất là \( (2x+1) \)
Thừa số thứ hai là \( (x+1)^2 = (x+1)(x+1) \)
Thừa số thứ ba là \( (2x+3) \)

Ta có thể nhóm \( (2x+1) \) với \( (2x+3) \) và \( (x+1)(x+1) \) lại.
Tuy nhiên, để ý thấy \( 2x+1 \) và \( 2x+3 \) có tổng hệ số của x là 4, còn \( x+1 \) và \( x+1 \) cũng có tổng hệ số của x là 2. Chưa phù hợp lắm.

Ta thử cách khác: nhân \( (x+1)^2 \) ra trước.
\( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \)
Vậy phương trình trở thành: \( (2x+1)(x^2+2x+1)(2x+3) – 18 = 0 \)
Ta nhóm \( (2x+1) \) với \( (2x+3) \) trước:
\( (2x+1)(2x+3) = 4x^2 + 6x + 2x + 3 = 4x^2 + 8x + 3 \)

Phương trình bây giờ là: \( (4x^2 + 8x + 3)(x^2+2x+1) – 18 = 0 \)

Để ý thấy trong \( 4x^2 + 8x + 3 \), ta có thể tách thành \( 4(x^2+2x) + 3 \).
Còn \( x^2+2x+1 \).

Chúng ta hãy thử nhóm lại theo một cách khác tinh tế hơn.
Ta nhận thấy \( (2x+1) \) và \( (2x+3) \) nếu nhân với nhau sẽ cho ta một biểu thức có dạng \( 4x^2 + \dots \).
Còn \( (x+1)^2 \) có dạng \( x^2 + \dots \).
Ta thử biến đổi \( (x+1)^2 \) một chút: \( (x+1)^2 = (x+1)(x+1) \).

Hãy thử nhân \( (2x+1) \) với \( (x+1) \) và \( (2x+3) \) với \( (x+1) \).
\( (2x+1)(x+1) = 2x^2 + 2x + x + 1 = 2x^2 + 3x + 1 \)
\( (2x+3)(x+1) = 2x^2 + 2x + 3x + 3 = 2x^2 + 5x + 3 \)
Nhân hai biểu thức này lại: \( (2x^2 + 3x + 1)(2x^2 + 5x + 3) – 18 = 0 \).
Ta thấy hai biểu thức này chưa có nhân tử chung.

Hãy quay lại cách nhóm ban đầu và biến đổi một chút:
\( (2x+1)(2x+3) = 4x^2 + 8x + 3 \)
\( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \)

Ta có thể viết lại \( 4x^2 + 8x + 3 \) thành \( 4(x^2 + 2x) + 3 \).
Và \( x^2 + 2x + 1 \) có dạng \( x^2+2x \) cộng thêm 1.

Đặt \( t = x^2 + 2x \).
Khi đó, \( 4x^2 + 8x + 3 = 4(x^2+2x) + 3 = 4t + 3 \).
Và \( x^2 + 2x + 1 = t + 1 \).

Phương trình trở thành: \( (4t+3)(t+1) – 18 = 0 \)
\( 4t^2 + 4t + 3t + 3 – 18 = 0 \)
\( 4t^2 + 7t – 15 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai theo biến \( t \). Ta có thể giải phương trình này bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.

Phân tích đa thức thành nhân tử: Ta cần tìm hai số sao cho tích của chúng bằng \( 4 \times (-15) = -60 \) và tổng của chúng bằng 7.
Hai số đó là 12 và -5.
\( 4t^2 + 12t – 5t – 15 = 0 \)
\( 4t(t+3) – 5(t+3) = 0 \)
\( (4t-5)(t+3) = 0 \)

Vậy, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: \( 4t – 5 = 0 \Rightarrow 4t = 5 \Rightarrow t = \frac{5}{4} \)
Trường hợp 2: \( t + 3 = 0 \Rightarrow t = -3 \)

Bây giờ, ta thay \( t = x^2 + 2x \) trở lại.

Trường hợp 1: \( t = \frac{5}{4} \)
\( x^2 + 2x = \frac{5}{4} \)
\( x^2 + 2x – \frac{5}{4} = 0 \)
Nhân cả hai vế với 4 để khử mẫu:
\( 4x^2 + 8x – 5 = 0 \)
Ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm.
\( \Delta = b^2 – 4ac = 8^2 – 4(4)(-5) = 64 + 80 = 144 \)
\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{144} = 12 \)
Các nghiệm là:
\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 + 12}{2 \times 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
\( x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 – 12}{2 \times 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} \)

Trường hợp 2: \( t = -3 \)
\( x^2 + 2x = -3 \)
\( x^2 + 2x + 3 = 0 \)
Tính biệt thức \( \Delta \):
\( \Delta = b^2 – 4ac = 2^2 – 4(1)(3) = 4 – 12 = -8 \)
Vì \( \Delta < 0 \), phương trình này vô nghiệm trong tập số thực. Vậy, phương trình ban đầu có hai nghiệm là \( x = \frac{1}{2} \) và \( x = -\frac{5}{2} \). Bài tập b)

\( (2x+1)^2(4x+1)(4x+3)-18=0 \)

Tương tự như bài toán trên, ta cũng cần tìm cách nhóm các thừa số để tạo ra nhân tử chung hoặc đưa về dạng phương trình quen thuộc.

Ta có \( (2x+1)^2 = (2x+1)(2x+1) \).
Phương trình trở thành: \( (2x+1)(2x+1)(4x+1)(4x+3) – 18 = 0 \)

Hãy thử nhân các thừa số lại với nhau.
Ta nhận thấy \( (2x+1) \) và \( (4x+1) \) có tổng các hệ số của x là 6.
\( (2x+1) \) và \( (4x+3) \) có tổng các hệ số của x là 6.
\( (4x+1) \) và \( (4x+3) \) có tổng các hệ số của x là 8.

Ta sẽ thử nhóm \( (2x+1) \) với \( (4x+3) \) và \( (2x+1) \) với \( (4x+1) \).
\( (2x+1)(4x+3) = 8x^2 + 6x + 4x + 3 = 8x^2 + 10x + 3 \)
\( (2x+1)(4x+1) = 8x^2 + 2x + 4x + 1 = 8x^2 + 6x + 1 \)
Phương trình trở thành: \( (8x^2 + 10x + 3)(8x^2 + 6x + 1) – 18 = 0 \).
Hai biểu thức này chưa có nhân tử chung rõ ràng.

Ta thử một cách nhóm khác:
Nhóm \( (2x+1) \) với \( (2x+1) \) thành \( (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \).
Nhóm \( (4x+1) \) với \( (4x+3) \):
\( (4x+1)(4x+3) = 16x^2 + 12x + 4x + 3 = 16x^2 + 16x + 3 \)

Phương trình trở thành: \( (4x^2 + 4x + 1)(16x^2 + 16x + 3) – 18 = 0 \).
Ta nhận thấy \( 16x^2 + 16x + 3 = 4(4x^2 + 4x) + 3 \).
Và \( 4x^2 + 4x + 1 \).

Đặt \( t = 4x^2 + 4x \).
Khi đó, \( 4x^2 + 4x + 1 = t + 1 \).
Và \( 16x^2 + 16x + 3 = 4(4x^2 + 4x) + 3 = 4t + 3 \).

Phương trình trở thành: \( (t+1)(4t+3) – 18 = 0 \)
\( 4t^2 + 3t + 4t + 3 – 18 = 0 \)
\( 4t^2 + 7t – 15 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai theo biến \( t \), giống hệt như phương trình ta đã giải ở bài tập a).
Ta đã tìm được nghiệm của phương trình này là \( t = \frac{5}{4} \) hoặc \( t = -3 \).

Bây giờ, ta thay \( t = 4x^2 + 4x \) trở lại.

Trường hợp 1: \( t = \frac{5}{4} \)
\( 4x^2 + 4x = \frac{5}{4} \)
Nhân cả hai vế với 4:
\( 16x^2 + 16x = 5 \)
\( 16x^2 + 16x – 5 = 0 \)
Ta sử dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc hai.
\( \Delta = b^2 – 4ac = 16^2 – 4(16)(-5) = 256 + 320 = 576 \)
\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{576} = 24 \)
Các nghiệm là:
\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-16 + 24}{2 \times 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \)
\( x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-16 – 24}{2 \times 16} = \frac{-40}{32} = -\frac{5}{4} \)

Trường hợp 2: \( t = -3 \)
\( 4x^2 + 4x = -3 \)
\( 4x^2 + 4x + 3 = 0 \)
Tính biệt thức \( \Delta \):
\( \Delta = b^2 – 4ac = 4^2 – 4(4)(3) = 16 – 48 = -32 \)
Vì \( \Delta < 0 \), phương trình này vô nghiệm trong tập số thực. Vậy, phương trình ban đầu có hai nghiệm là \( x = \frac{1}{4} \) và \( x = -\frac{5}{4} \). Các em thấy đấy, chìa khóa để giải quyết những bài toán này là sự quan sát tinh tế để nhóm các hạng tử một cách hợp lý, từ đó đưa về những phương trình quen thuộc hơn. Các em hãy ôn lại cách đặt ẩn phụ và giải phương trình bậc hai nhé.