Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm GTLN, GTNN khá thú vị trong chương trình Đại số lớp 11. Bài toán của chúng ta là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = sin⁸x + cos⁸x.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi theo từng bước, bám sát kiến thức đã học trong sách giáo khoa, đảm bảo không có kiến thức nào bị “vượt lớp”.

Bước 1: Phân tích biểu thức và xác định hướng tiếp cận

Biểu thức A có dạng lũy thừa cao của sinx và cosx. Để đơn giản hóa, chúng ta có thể nghĩ đến việc đưa về các biểu thức bậc thấp hơn hoặc sử dụng các hằng đẳng thức quen thuộc.

Chúng ta nhận thấy rằng sin⁸x và cos⁸x có thể được viết dưới dạng bình phương của các biểu thức bậc thấp hơn. Cụ thể:
sin⁸x = (sin⁴x)²
cos⁸x = (cos⁴x)²

Như vậy, A = (sin⁴x)² + (cos⁴x)².
Đây gợi cho chúng ta nhớ đến hằng đẳng thức: a² + b² = (a + b)² – 2ab.
Đặt a = sin⁴x và b = cos⁴x, ta có:
A = (sin⁴x + cos⁴x)² – 2sin⁴x cos⁴x

Bây giờ, chúng ta cần tìm cách biểu diễn sin⁴x + cos⁴x và sin⁴x cos⁴x theo các biểu thức đơn giản hơn.

Bước 2: Biến đổi sin⁴x + cos⁴x

Chúng ta lại có thể tiếp tục áp dụng hằng đẳng thức cho biểu thức sin⁴x + cos⁴x.
sin⁴x + cos⁴x = (sin²x)² + (cos²x)²
Áp dụng a² + b² = (a + b)² – 2ab với a = sin²x và b = cos²x, ta được:
sin⁴x + cos⁴x = (sin²x + cos²x)² – 2sin²x cos²x

Chúng ta đều biết hằng đẳng thức cơ bản: sin²x + cos²x = 1.
Do đó, sin⁴x + cos⁴x = 1² – 2sin²x cos²x = 1 – 2sin²x cos²x.

Tiếp theo, chúng ta cần biến đổi 2sin²x cos²x.
Chúng ta có công thức nhân đôi: sin(2x) = 2sinxcosx.
Bình phương hai vế, ta được: sin²(2x) = 4sin²x cos²x.
Từ đó, sin²x cos²x = \( \frac{1}{4} \)sin²(2x).

Vậy, sin⁴x + cos⁴x = 1 – 2 * \( \frac{1}{4} \)sin²(2x) = 1 – \( \frac{1}{2} \)sin²(2x).

Bước 3: Biến đổi biểu thức A theo sin²(2x)

Thay kết quả vừa tìm được vào biểu thức của A:
A = (sin⁴x + cos⁴x)² – 2sin⁴x cos⁴x
A = (1 – \( \frac{1}{2} \)sin²(2x))² – 2(sin²x cos²x)²
A = (1 – \( \frac{1}{2} \)sin²(2x))² – 2( \( \frac{1}{4} \)sin²(2x))²
A = (1 – \( \frac{1}{2} \)sin²(2x))² – 2( \( \frac{1}{16} \)sin⁴(2x))
A = (1 – \( \frac{1}{2} \)sin²(2x))² – \( \frac{1}{8} \)sin⁴(2x)

Bây giờ, chúng ta khai triển bình phương:
(1 – \( \frac{1}{2} \)sin²(2x))² = 1² – 2 1 \( \frac{1}{2} \)sin²(2x) + (\( \frac{1}{2} \)sin²(2x))²
= 1 – sin²(2x) + \( \frac{1}{4} \)sin⁴(2x)

Thay vào biểu thức A:
A = (1 – sin²(2x) + \( \frac{1}{4} \)sin⁴(2x)) – \( \frac{1}{8} \)sin⁴(2x)
A = 1 – sin²(2x) + (\( \frac{1}{4} \) – \( \frac{1}{8} \))sin⁴(2x)
A = 1 – sin²(2x) + \( \frac{1}{8} \)sin⁴(2x)

Chúng ta có thể đặt t = sin²(2x). Lưu ý rằng:
Vì -1 ≤ sin(2x) ≤ 1, nên 0 ≤ sin²(2x) ≤ 1.
Do đó, 0 ≤ t ≤ 1.

Biểu thức A trở thành một hàm của t:
A = 1 – t + \( \frac{1}{8} \)t²

Đây là một tam thức bậc hai theo biến t.

Bước 4: Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai

Chúng ta cần tìm GTLN, GTNN của hàm số f(t) = \( \frac{1}{8} \)t² – t + 1 với 0 ≤ t ≤ 1.
Đây là một parabol có bề lõm quay lên (do hệ số của t² là \( \frac{1}{8} \) > 0).
Đỉnh của parabol có hoành độ là: t_đỉnh = -b / (2a) = -(-1) / (2 * \( \frac{1}{8} \)) = 1 / \( \frac{1}{4} \) = 4.

Vì t_đỉnh = 4 nằm ngoài khoảng [0, 1], nên GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [0, 1] sẽ đạt được tại các đầu mút của đoạn này.

* Tại t = 0:
f(0) = \( \frac{1}{8} \)(0)² – 0 + 1 = 1.

* Tại t = 1:
f(1) = \( \frac{1}{8} \)(1)² – 1 + 1 = \( \frac{1}{8} \).

So sánh hai giá trị này, ta thấy:
Giá trị nhỏ nhất là \( \frac{1}{8} \).
Giá trị lớn nhất là 1.

Bước 5: Kết luận

Chúng ta đã tìm được GTLN và GTNN của hàm số f(t) trên đoạn [0, 1]. Bây giờ, chúng ta quay trở lại biểu thức A.

* Khi t = 1, A = \( \frac{1}{8} \). Điều này xảy ra khi sin²(2x) = 1.
sin²(2x) = 1 <=> sin(2x) = ±1
<=> 2x = \( \frac{\pi}{2} \) + kπ (với k là số nguyên)
<=> x = \( \frac{\pi}{4} \) + \( \frac{k\pi}{2} \)
Do đó, GTNN của A là \( \frac{1}{8} \).

* Khi t = 0, A = 1. Điều này xảy ra khi sin²(2x) = 0.
sin²(2x) = 0 <=> sin(2x) = 0
<=> 2x = kπ (với k là số nguyên)
<=> x = \( \frac{k\pi}{2} \)
Do đó, GTLN của A là 1.

Tuy nhiên, cô xin lỗi các em, cô vừa nhận ra một sai sót nhỏ trong quá trình biến đổi và tìm GTLN, GTNN. Chúng ta hãy cùng xem lại.

Xem lại Bước 4: Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai

Ta có A = \( \frac{1}{8} \)t² – t + 1 với 0 ≤ t ≤ 1.
Tam thức bậc hai có hoành độ đỉnh t_đỉnh = 4.
Vì parabol có bề lõm quay lên, nên trên đoạn [0, 1], hàm số sẽ nghịch biến. Do đó, giá trị lớn nhất đạt tại t = 0 và giá trị nhỏ nhất đạt tại t = 1.

* Tại t = 0: A = \( \frac{1}{8} \)(0)² – 0 + 1 = 1.
* Tại t = 1: A = \( \frac{1}{8} \)(1)² – 1 + 1 = \( \frac{1}{8} \).

Vậy, GTNN của A là \( \frac{1}{8} \) và GTLN của A là 1.

Bây giờ chúng ta hãy kiểm tra lại xem mình có bỏ sót trường hợp nào không.

Phương pháp khác để kiểm tra GTLN, GTNN

Chúng ta có thể biến đổi biểu thức ban đầu một chút khác đi.
A = sin⁸x + cos⁸x
A = (sin⁴x + cos⁴x)² – 2sin⁴x cos⁴x
A = (1 – 2sin²x cos²x)² – 2(sin²x cos²x)²
A = (1 – \( \frac{1}{2} \)sin²(2x))² – 2( \( \frac{1}{4} \)sin²(2x))²
A = 1 – sin²(2x) + \( \frac{1}{4} \)sin⁴(2x) – \( \frac{1}{8} \)sin⁴(2x)
A = 1 – sin²(2x) + \( \frac{1}{8} \)sin⁴(2x)

Đặt y = sin²(2x). Ta có 0 ≤ y ≤ 1.
A = \( \frac{1}{8} \)y² – y + 1.

Xét hàm số g(y) = \( \frac{1}{8} \)y² – y + 1 trên đoạn [0, 1].
Đây là một parabol có đỉnh tại y = 4. Vì bề lõm quay lên, trên đoạn [0, 1], hàm số sẽ giảm.

* GTLN xảy ra tại y = 0: g(0) = \( \frac{1}{8} \)(0)² – 0 + 1 = 1.
Điều này xảy ra khi sin²(2x) = 0, tức là sin(2x) = 0.
Ví dụ: x = 0, A = sin⁸(0) + cos⁸(0) = 0⁸ + 1⁸ = 1.

* GTNN xảy ra tại y = 1: g(1) = \( \frac{1}{8} \)(1)² – 1 + 1 = \( \frac{1}{8} \).
Điều này xảy ra khi sin²(2x) = 1, tức là sin(2x) = ±1.
Ví dụ: x = \( \frac{\pi}{4} \), A = sin⁸(\( \frac{\pi}{4} \)) + cos⁸(\( \frac{\pi}{4} \))
= (\( \frac{\sqrt{2}}{2} \))⁸ + (\( \frac{\sqrt{2}}{2} \))⁸
= (\( \frac{1}{\sqrt{2}} \))⁸ + (\( \frac{1}{\sqrt{2}} \))⁸
= (\( \frac{1}{2} \))⁴ + (\( \frac{1}{2} \))⁴
= \( \frac{1}{16} \) + \( \frac{1}{16} \) = \( \frac{2}{16} \) = \( \frac{1}{8} \).

Như vậy, kết quả của chúng ta là chính xác.

Kết luận cuối cùng:

Giá trị lớn nhất của biểu thức A = sin⁸x + cos⁸x là 1.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = sin⁸x + cos⁸x là \( \frac{1}{8} \).

Các em thấy đó, khi làm toán, đôi khi chúng ta cần kiểm tra lại kết quả bằng nhiều cách khác nhau để đảm bảo tính chính xác. Bài toán này đã giúp chúng ta ôn lại các hằng đẳng thức cơ bản, công thức lượng giác và kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!