Cô sẽ hướng dẫn các em giải bài tập này một cách chi tiết và dễ hiểu nhé. Đây là một dạng bài toán giải bằng cách lập phương trình, một dạng rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9. Chúng ta sẽ chuyển các dữ kiện của bài toán thành một phương trình toán học để tìm ra ẩn số.

Phân tích bài toán:
Đây là dạng toán về năng suất, công việc chung, công việc riêng. Quy tắc chung để giải là:

• Coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị.
• Năng suất (lượng việc làm trong 1 ngày) = \( \frac{1}{\text{Thời gian hoàn thành công việc}} \).
• Tổng năng suất của các đội khi làm chung = Năng suất đội 1 + Năng suất đội 2.

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng để giải bài toán này.

BÀI GIẢI CHI TIẾT

Bước 1: Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số
Gọi thời gian để đội 1 làm riêng một mình xong công việc là \(x\) (ngày).
Theo đề bài, đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội 2 là 6 ngày, nên thời gian để đội 2 làm riêng một mình xong công việc sẽ là \(x + 6\) (ngày).

Điều kiện của ẩn:
Vì thời gian phải là một số dương, và thời gian làm chung là 4 ngày nên thời gian làm riêng của mỗi đội phải lớn hơn 4. Do đó, điều kiện là \(x > 4\).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

• Trong 1 ngày, đội 1 làm được: \( \frac{1}{x} \) (công việc).
• Trong 1 ngày, đội 2 làm được: \( \frac{1}{x+6} \) (công việc).
• Cả hai đội cùng làm thì trong 4 ngày xong việc, vậy trong 1 ngày, cả hai đội làm được: \( \frac{1}{4} \) (công việc).

Bước 3: Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Vì trong 1 ngày, lượng công việc cả hai đội làm chung bằng tổng lượng công việc của mỗi đội làm riêng, nên ta có phương trình:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4} \]

Bước 4: Giải phương trình
Để giải phương trình trên, ta tiến hành quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \( 4x(x+6) \).
Phương trình trở thành:
\[ \frac{4(x+6)}{4x(x+6)} + \frac{4x}{4x(x+6)} = \frac{x(x+6)}{4x(x+6)} \]
Khử mẫu số, ta được:
\[ 4(x+6) + 4x = x(x+6) \]
\[ 4x + 24 + 4x = x^2 + 6x \]
\[ 8x + 24 = x^2 + 6x \]
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về phương trình bậc hai:
\[ x^2 + 6x – 8x – 24 = 0 \]
\[ x^2 – 2x – 24 = 0 \]
Đây là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải bằng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.
Cách 1: Phân tích thành nhân tử
Ta tìm hai số có tổng là -2 và tích là -24. Đó là -6 và 4.
\[ x^2 – 6x + 4x – 24 = 0 \]
\[ x(x-6) + 4(x-6) = 0 \]
\[ (x+4)(x-6) = 0 \]
Vậy ta có hai trường hợp:

• \( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \)
• \( x – 6 = 0 \Rightarrow x = 6 \)

Cách 2: Dùng công thức nghiệm Delta’ (Δ’)
Với phương trình \( x^2 – 2x – 24 = 0 \), ta có \( a=1, b’=-1, c=-24 \)
\[ \Delta’ = (b’)^2 – ac = (-1)^2 – 1 \cdot (-24) = 1 + 24 = 25 > 0 \]
Vì \( \Delta’ > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ x_1 = \frac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{1} = 1 + 5 = 6 \]
\[ x_2 = \frac{-b’ – \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{1 – \sqrt{25}}{1} = 1 – 5 = -4 \]

Bước 5: Đối chiếu với điều kiện và kết luận
Ta so sánh hai nghiệm vừa tìm được với điều kiện \(x > 4\).

• Nghiệm \( x = 6 \) (Thỏa mãn điều kiện).
• Nghiệm \( x = -4 \) (Không thỏa mãn điều kiện, vì thời gian không thể là số âm).

Vậy, thời gian để đội 1 làm riêng xong công việc là 6 ngày.
Thời gian để đội 2 làm riêng xong công việc là \(x + 6 = 6 + 6 = 12\) ngày.

TRẢ LỜI:
Nếu làm riêng, thời gian để mỗi đội hoàn thành công việc là:

• Đội 1: 6 ngày.
• Đội 2: 12 ngày.

Hy vọng lời giải trên đã giúp các em hiểu rõ bài toán này. Chúc các em học tốt