Đề bài cho chúng ta biết: Hai người làm chung một công việc thì trong 20 ngày sẽ hoàn thành. Tuy nhiên, tiến độ công việc có một số thay đổi. Chúng ta cần tìm xem nếu mỗi người làm riêng thì sẽ mất bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đó.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ gọi ẩn và thiết lập phương trình dựa trên khối lượng công việc và thời gian làm việc.

Bước 1: Đặt ẩn và xác định mối quan hệ.
Gọi thời gian để người thứ nhất làm xong công việc một mình là \(x\) ngày.
Gọi thời gian để người thứ hai làm xong công việc một mình là \(y\) ngày.

Theo đề bài, nếu hai người làm chung thì trong 20 ngày sẽ hoàn thành. Điều này có nghĩa là:
Trong 1 ngày, người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc.
Trong 1 ngày, người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.
Trong 1 ngày, cả hai người làm chung được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) công việc.
Vì cả hai người làm chung trong 20 ngày sẽ hoàn thành, nên ta có phương trình thứ nhất:
\(20 \times \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1\)
Hay \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\) (1)

Bước 2: Phân tích các giai đoạn làm việc sau đó.
Giai đoạn 1: Hai người cùng làm chung trong 12 ngày.
Khối lượng công việc hai người làm chung trong 12 ngày là: \(12 \times \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)\).
Sử dụng phương trình (1), ta biết \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\).
Vậy, khối lượng công việc hai người đã hoàn thành trong 12 ngày là: \(12 \times \frac{1}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\) công việc.

Giai đoạn 2: Người thứ nhất đi làm việc khác, người thứ hai tiếp tục làm trong 12 ngày.
Trong 12 ngày này, chỉ có người thứ hai làm việc.
Khối lượng công việc người thứ hai làm được trong 12 ngày là: \(12 \times \frac{1}{y}\) công việc.

Giai đoạn 3: Người thứ hai nghỉ, người thứ nhất quay trở lại làm phần còn lại trong 6 ngày thì xong.
Sau khi hai người làm chung 12 ngày, người thứ nhất nghỉ. Người thứ hai làm thêm 12 ngày nữa. Tổng cộng, người thứ hai đã làm việc một mình trong 12 ngày.
Sau khi người thứ hai nghỉ, người thứ nhất quay trở lại làm phần còn lại trong 6 ngày.
Khối lượng công việc người thứ nhất làm trong 6 ngày là: \(6 \times \frac{1}{x}\) công việc.

Bước 3: Thiết lập phương trình thứ hai dựa trên tổng khối lượng công việc.
Tổng khối lượng công việc của cả ba giai đoạn phải bằng 1 (hoàn thành công việc).
Tuy nhiên, cách diễn đạt “sau khi đi được 12 ngày (người thứ hai), do người thứ hai nghỉ người thứ nhất quay trở về làm tiếp phần còn lại trong 6 ngày còn lại thì xong” có thể gây nhầm lẫn. Chúng ta cần làm rõ ý nghĩa:
– Hai người làm chung 12 ngày.
– Người thứ nhất đi. Người thứ hai làm tiếp 12 ngày nữa.
– Sau 12 ngày người thứ hai làm một mình đó, người thứ hai nghỉ.
– Người thứ nhất quay lại làm nốt phần việc còn lại trong 6 ngày.

Tuy nhiên, cách diễn đạt “sau khi đi được 12 ngày (người thứ hai)” có thể hiểu là sau khi người thứ nhất đi, người thứ hai làm được 12 ngày. Và “sau khi đi được 12 ngày” là nhắc lại thời điểm người thứ nhất đi.

Chúng ta đọc lại kỹ: “hai người làm chung một công việc thì trong 20 ngày sẽ hoàn thành, nhưng sau khi làm chung được 12 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác người thứ hai vẫn tiếp tục làm công việc đó .sau khi đi được 12 ngày(người thứ hai),do người thứ hai nghỉ người thứ nhất quay trở về làm tiếp phần còn lại trong 6 ngày còn lại thì xong”.

Diễn giải chính xác hơn:
1. Hai người làm chung 12 ngày.
2. Người thứ nhất nghỉ. Người thứ hai làm tiếp một mình.
3. Sau đó, người thứ hai nghỉ.
4. Người thứ nhất quay lại làm nốt phần việc còn lại trong 6 ngày.

Vậy, chúng ta cần xác định rõ ràng ai làm trong bao nhiêu ngày.
“sau khi đi được 12 ngày(người thứ hai)” – cụm này hơi khó hiểu. Chúng ta tạm hiểu là người thứ hai làm một mình trong 12 ngày.

Nhưng nếu người thứ hai làm 12 ngày sau khi người thứ nhất nghỉ, thì tổng thời gian hai người làm chung là 12 ngày.
Sau đó, người thứ nhất quay lại làm nốt 6 ngày.

Chúng ta hãy xem xét lại cách diễn đạt: “sau khi làm chung được 12 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác người thứ hai vẫn tiếp tục làm công việc đó .sau khi đi được 12 ngày(người thứ hai),do người thứ hai nghỉ người thứ nhất quay trở về làm tiếp phần còn lại trong 6 ngày còn lại thì xong”.

Có thể hiểu là:
– Hai người làm chung: 12 ngày.
– Người thứ nhất nghỉ.
– Người thứ hai làm một mình: một khoảng thời gian nào đó.
– Người thứ hai nghỉ.
– Người thứ nhất quay lại làm nốt: 6 ngày.

Tuy nhiên, cách nói “sau khi đi được 12 ngày (người thứ hai)” có thể ám chỉ một mốc thời gian, hoặc là người thứ hai làm trong 12 ngày.
Nếu chúng ta diễn giải là người thứ hai làm trong 12 ngày (sau khi người thứ nhất nghỉ):
– Hai người làm chung: 12 ngày.
– Người thứ hai làm một mình: 12 ngày.
– Người thứ nhất làm một mình: 6 ngày.

Với cách hiểu này, ta có:
Khối lượng công việc:
\(12 \times \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) + 12 \times \frac{1}{y} + 6 \times \frac{1}{x} = 1\)

Thay \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\) vào phương trình trên:
\(12 \times \frac{1}{20} + 12 \times \frac{1}{y} + 6 \times \frac{1}{x} = 1\)
\(\frac{12}{20} + \frac{12}{y} + \frac{6}{x} = 1\)
\(\frac{3}{5} + \frac{12}{y} + \frac{6}{x} = 1\)
\(\frac{12}{y} + \frac{6}{x} = 1 – \frac{3}{5}\)
\(\frac{12}{y} + \frac{6}{x} = \frac{2}{5}\)

Chúng ta có hệ phương trình:
1) \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\)
2) \(\frac{6}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{5}\)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể đặt \(a = \frac{1}{x}\) và \(b = \frac{1}{y}\).
Hệ trở thành:
1) \(a + b = \frac{1}{20}\)
2) \(6a + 12b = \frac{2}{5}\)

Nhân phương trình (1) với 6:
\(6a + 6b = 6 \times \frac{1}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) (3)

Lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (3):
\((6a + 12b) – (6a + 6b) = \frac{2}{5} – \frac{3}{10}\)
\(6b = \frac{4}{10} – \frac{3}{10}\)
\(6b = \frac{1}{10}\)
\(b = \frac{1}{10 \times 6} = \frac{1}{60}\)

Vì \(b = \frac{1}{y}\), nên \(\frac{1}{y} = \frac{1}{60}\), suy ra \(y = 60\) ngày.

Bây giờ, thay giá trị của \(b\) vào phương trình (1):
\(a + \frac{1}{60} = \frac{1}{20}\)
\(a = \frac{1}{20} – \frac{1}{60}\)
\(a = \frac{3}{60} – \frac{1}{60}\)
\(a = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}\)

Vì \(a = \frac{1}{x}\), nên \(\frac{1}{x} = \frac{1}{30}\), suy ra \(x = 30\) ngày.

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả.
Nếu người thứ nhất làm riêng hết 30 ngày, người thứ hai làm riêng hết 60 ngày.
Trong 1 ngày, người thứ nhất làm \(\frac{1}{30}\) công việc.
Trong 1 ngày, người thứ hai làm \(\frac{1}{60}\) công việc.
Cả hai làm chung trong 1 ngày: \(\frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2}{60} + \frac{1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}\) công việc.
Vậy, hai người làm chung thì 20 ngày sẽ xong. Điều này khớp với đề bài.

Bây giờ, kiểm tra theo diễn biến công việc:
Hai người làm chung 12 ngày: \(12 \times \frac{1}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\) công việc.
Còn lại: \(1 – \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\) công việc.

Người thứ nhất nghỉ, người thứ hai làm tiếp 12 ngày.
Người thứ hai làm được: \(12 \times \frac{1}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}\) công việc.

Sau đó người thứ hai nghỉ, người thứ nhất quay lại làm 6 ngày.
Người thứ nhất làm được: \(6 \times \frac{1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}\) công việc.

Tổng khối lượng công việc đã làm: \(\frac{3}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1\) công việc.
Tuy nhiên, cách hiểu này vẫn có một điểm chưa rõ: “sau khi đi được 12 ngày(người thứ hai)”. Nếu đây là mốc thời gian người thứ hai làm, thì chúng ta đã làm đúng.

Hãy xem xét một cách diễn giải khác cho câu văn: “sau khi làm chung được 12 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác người thứ hai vẫn tiếp tục làm công việc đó. sau khi đi được 12 ngày (người thứ hai), do người thứ hai nghỉ người thứ nhất quay trở về làm tiếp phần còn lại trong 6 ngày còn lại thì xong.”

Có thể hiểu là:
– Hai người làm chung: 12 ngày.
– Người thứ nhất nghỉ.
– Người thứ hai làm một mình cho đến khi một mốc thời gian nào đó.
– Sau khi người thứ hai làm được một khoảng thời gian, người thứ hai nghỉ.
– Người thứ nhất quay lại làm nốt 6 ngày.

Nhưng thông tin “sau khi đi được 12 ngày (người thứ hai)” là mấu chốt. Nếu đó là thời gian người thứ hai làm một mình, thì kết quả chúng ta tìm được là đúng.
Nếu diễn giải là “sau khi người thứ nhất đi được 12 ngày thì người thứ hai cũng nghỉ” thì mọi chuyện lại khác.

Chúng ta sẽ bám sát vào cách hiểu mà chúng ta đã làm, vì nó hợp lý nhất với đề bài.
Tức là:
1. Hai người làm chung: 12 ngày.
2. Người thứ nhất nghỉ.
3. Người thứ hai làm một mình: 12 ngày.
4. Người thứ hai nghỉ.
5. Người thứ nhất quay lại làm một mình: 6 ngày.

Tổng cộng công việc là 1.
Khối lượng công việc:
\(12 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + 12 \times \frac{1}{y} + 6 \times \frac{1}{x} = 1\)

Với \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\), ta có:
\(12 \times \frac{1}{20} + \frac{12}{y} + \frac{6}{x} = 1\)
\(\frac{3}{5} + \frac{12}{y} + \frac{6}{x} = 1\)
\(\frac{6}{x} + \frac{12}{y} = 1 – \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\)

Đây là phương trình thứ hai. Hệ phương trình là:
1. \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\)
2. \(\frac{6}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{5}\)

Đặt \(a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}\).
1. \(a + b = \frac{1}{20}\)
2. \(6a + 12b = \frac{2}{5}\)

Từ (1), \(a = \frac{1}{20} – b\). Thay vào (2):
\(6(\frac{1}{20} – b) + 12b = \frac{2}{5}\)
\(\frac{6}{20} – 6b + 12b = \frac{2}{5}\)
\(\frac{3}{10} + 6b = \frac{2}{5}\)
\(6b = \frac{2}{5} – \frac{3}{10} = \frac{4}{10} – \frac{3}{10} = \frac{1}{10}\)
\(b = \frac{1}{60}\)
Vậy \(y = 60\) ngày.

Thay \(b = \frac{1}{60}\) vào \(a + b = \frac{1}{20}\):
\(a + \frac{1}{60} = \frac{1}{20}\)
\(a = \frac{1}{20} – \frac{1}{60} = \frac{3}{60} – \frac{1}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}\)
Vậy \(x = 30\) ngày.

Kết luận:
Nếu làm riêng, người thứ nhất sẽ làm xong công việc trong 30 ngày.
Nếu làm riêng, người thứ hai sẽ làm xong công việc trong 60 ngày.

Các em thấy đó, với mỗi bài toán, việc đọc kỹ đề và xác định đúng các giai đoạn, các đại lượng là rất quan trọng. Hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững hơn cách giải các bài toán về năng suất lao động.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em đừng ngần ngại hỏi thầy nhé. Chúc các em học tốt!