Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về phân số và tỉ lệ nhé.
Bài toán cho biết tổng chiều dài của hai tấm vải là 125m, và có một mối quan hệ đặc biệt giữa chiều dài của chúng: 1/2 tấm vải thứ nhất bằng 1/3 tấm vải thứ hai.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về tỉ số và quy về bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng.

Bước 1: Biểu diễn mối quan hệ giữa hai tấm vải dưới dạng tỉ số.
Chúng ta có thông tin: 1/2 tấm vải thứ nhất = 1/3 tấm vải thứ hai.
Để dễ hình dung, chúng ta hãy tưởng tượng chia tấm vải thứ nhất thành 2 phần bằng nhau, và tấm vải thứ hai thành 3 phần bằng nhau. Khi đó, 1 phần của tấm vải thứ nhất sẽ tương ứng với 1 phần của tấm vải thứ hai.
Điều này có nghĩa là nếu ta nhân chiều dài tấm vải thứ nhất với 1/2 thì được kết quả bằng chiều dài tấm vải thứ hai nhân với 1/3.
Để làm cho tỉ lệ này trở nên rõ ràng hơn, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số hoặc tử số để thấy được mối liên hệ trực tiếp.
Cô sẽ làm như sau:
Nếu 1/2 tấm vải thứ nhất = 1/3 tấm vải thứ hai, thì cô có thể coi như chiều dài tấm vải thứ nhất chiếm 2 phần tỉ lệ và chiều dài tấm vải thứ hai chiếm 3 phần tỉ lệ.
Lý do là: Nếu ta quy đồng mẫu số của 1/2 và 1/3 về mẫu số chung là 6, ta có:
1/2 = 3/6
1/3 = 2/6
Vậy, 3/6 tấm vải thứ nhất = 2/6 tấm vải thứ hai.
Để mối quan hệ này trở nên đơn giản, chúng ta sẽ coi chiều dài tấm vải thứ nhất ứng với 2 “phần” và chiều dài tấm vải thứ hai ứng với 3 “phần”. Hoặc cách hiểu dễ hơn là:
Nếu 1/2 tấm vải thứ nhất = 1/3 tấm vải thứ hai, thì ta có thể suy ra:
Chiều dài tấm vải thứ nhất / 2 = Chiều dài tấm vải thứ hai / 3
Điều này có nghĩa là tỉ lệ giữa chiều dài tấm vải thứ nhất và chiều dài tấm vải thứ hai là 2:3.
Vậy, nếu coi chiều dài tấm vải thứ nhất là 2 phần bằng nhau, thì chiều dài tấm vải thứ hai sẽ là 3 phần như thế.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau.
Theo mối quan hệ ở Bước 1, chúng ta đã quy về việc tấm vải thứ nhất chiếm 2 phần và tấm vải thứ hai chiếm 3 phần.
Tổng số phần bằng nhau của hai tấm vải là:
\( 2 + 3 = 5 \) (phần)
Lý do áp dụng phép cộng này là vì chúng ta đã quy đổi chiều dài hai tấm vải về các phần tỉ lệ bằng nhau, và tổng chiều dài 125m tương ứng với tổng số phần đó.

Bước 3: Tìm chiều dài của một phần.
Tổng chiều dài hai tấm vải là 125m, và tổng số phần là 5 phần.
Chiều dài của một phần là:
\( 125m / 5 = 25m \)
Lý do áp dụng phép chia này là để xác định giá trị cụ thể của mỗi phần tỉ lệ mà chúng ta đã quy ước ở Bước 1.

Bước 4: Tìm chiều dài của mỗi tấm vải.
Chúng ta biết tấm vải thứ nhất chiếm 2 phần và tấm vải thứ hai chiếm 3 phần.
Chiều dài tấm vải thứ nhất là:
\( 25m \times 2 = 50m \)
Chiều dài tấm vải thứ hai là:
\( 25m \times 3 = 75m \)
Lý do áp dụng phép nhân này là vì chúng ta đã biết giá trị của một phần và số phần mà mỗi tấm vải chiếm để tính ra chiều dài thực tế của chúng.

Kiểm tra lại:
Tổng chiều dài hai tấm vải là: \( 50m + 75m = 125m \). (Đúng với đề bài)
1/2 tấm vải thứ nhất là: \( 50m \times 1/2 = 25m \).
1/3 tấm vải thứ hai là: \( 75m \times 1/3 = 25m \).
Ta thấy \( 25m = 25m \), vậy mối quan hệ trong đề bài là đúng.

Đáp số:
Tấm vải thứ nhất dài 50m.
Tấm vải thứ hai dài 75m.