Xin chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rất thú vị về năng suất làm việc, dựa trên kiến thức đã học trong Sách giáo khoa Toán lớp 9.

Đề bài: Hai tổ cùng làm chung công việc trong 12 giờ thì xong. Tuy nhiên, hai tổ làm chung trong 4 giờ thì Tổ 1 được điều đi làm việc khác, Tổ 2 làm nốt công việc trong 10 giờ thì xong. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì trong bao lâu sẽ xong công việc?

Trước hết, chúng ta cần phân tích đề bài và xác định các đại lượng cần tìm.

Bước 1: Đặt ẩn và xác định các đại lượng.

Gọi x là thời gian (tính bằng giờ) để Tổ 1 hoàn thành công việc một mình.
Gọi y là thời gian (tính bằng giờ) để Tổ 2 hoàn thành công việc một mình.

Điều kiện: x > 0 và y > 0.

Từ đó, ta suy ra:
– Năng suất của Tổ 1 là:
\( \frac{1}{x} \) (công việc/giờ)
– Năng suất của Tổ 2 là:
\( \frac{1}{y} \) (công việc/giờ)

Bước 2: Xây dựng phương trình dựa trên thông tin đề bài.

Trường hợp 1: Hai tổ cùng làm chung trong 12 giờ thì xong.

Khi hai tổ làm chung, năng suất của cả hai tổ là
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) (công việc/giờ).
Vì họ hoàn thành công việc trong 12 giờ, nên ta có phương trình:
\( 12 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \)
Hay
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \) (1)

Trường hợp 2: Hai tổ làm chung trong 4 giờ, sau đó Tổ 2 làm nốt trong 10 giờ thì xong.

Trong 4 giờ đầu tiên, cả hai tổ cùng làm. Lượng công việc mà cả hai tổ hoàn thành được là:
\( 4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \) (công việc).
Sau đó, Tổ 1 đi làm việc khác. Tổ 2 tiếp tục làm nốt công việc trong 10 giờ. Lượng công việc mà Tổ 2 hoàn thành trong 10 giờ này là:
\( 10 \times \frac{1}{y} \) (công việc).
Tổng lượng công việc của hai giai đoạn này bằng 1 (toàn bộ công việc), nên ta có phương trình:
\( 4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + 10 \times \frac{1}{y} = 1 \)
\( 4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + \frac{10}{y} = 1 \) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Chúng ta có hệ phương trình hai ẩn sau:

\( \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \quad (1) \\ 4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + \frac{10}{y} = 1 \quad (2) \end{cases} \)

Thay thế phương trình (1) vào phương trình (2) để đơn giản hóa.

Từ phương trình (1), ta biết
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \) .

Thay giá trị này vào phương trình (2):
\( 4 \left( \frac{1}{12} \right) + \frac{10}{y} = 1 \)

\( \frac{4}{12} + \frac{10}{y} = 1 \)

\( \frac{1}{3} + \frac{10}{y} = 1 \)

Giải phương trình tìm y.

\( \frac{10}{y} = 1 – \frac{1}{3} \)

\( \frac{10}{y} = \frac{2}{3} \)

\( y = 10 \times \frac{3}{2} \)

\( y = 15 \)

Vậy, Tổ 2 làm một mình thì xong công việc trong 15 giờ.

Thay giá trị y vào phương trình (1) để tìm x.

Ta có phương trình (1):
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \)
Thay
\( y = 15 \) vào, ta được:
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{15} = \frac{1}{12} \)

\( \frac{1}{x} = \frac{1}{12} – \frac{1}{15} \)

Để trừ hai phân số, chúng ta tìm mẫu số chung. Mẫu số chung nhỏ nhất của 12 và 15 là 60.

\( \frac{1}{x} = \frac{5}{60} – \frac{4}{60} \)

\( \frac{1}{x} = \frac{1}{60} \)

\( x = 60 \)

Vậy, Tổ 1 làm một mình thì xong công việc trong 60 giờ.

Bước 4: Kiểm tra lại và kết luận.

* Kiểm tra lại:
* Nếu Tổ 1 làm 60 giờ và Tổ 2 làm 15 giờ.
* Cùng làm 12 giờ: \( 12 \times (\frac{1}{60} + \frac{1}{15}) = 12 \times (\frac{1}{60} + \frac{4}{60}) = 12 \times \frac{5}{60} = 12 \times \frac{1}{12} = 1 \) (Đúng)
* Làm chung 4 giờ, Tổ 2 làm tiếp 10 giờ: \( 4 \times (\frac{1}{60} + \frac{1}{15}) + 10 \times \frac{1}{15} = 4 \times \frac{5}{60} + \frac{10}{15} = \frac{20}{60} + \frac{10}{15} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \) (Đúng)

* Kết luận:

Vậy, nếu làm riêng, Tổ 1 sẽ hoàn thành công việc trong 60 giờ và Tổ 2 sẽ hoàn thành công việc trong 15 giờ.

Cô hy vọng qua bài giảng chi tiết này, các em đã nắm vững cách giải bài toán dạng năng suất. Hãy ghi nhớ các bước phân tích, đặt ẩn, lập phương trình và giải hệ phương trình một cách cẩn thận nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!