Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thực tế về vòi nước, một dạng bài quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép cẩn thận nhé.

Chúng ta bắt đầu với bài toán: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 45 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ hai trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được 1/3 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì sẽ đầy bể trong bao lâu?

Đây là một bài toán thuộc dạng toán “làm chung, làm riêng”, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về phương trình bậc nhất một ẩn hoặc hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết.

Trước hết, chúng ta cần xác định các đại lượng chưa biết và đặt ẩn cho chúng.

Gọi x là thời gian (tính bằng giờ) để vòi thứ nhất chảy đầy bể.
Gọi y là thời gian (tính bằng giờ) để vòi thứ hai chảy đầy bể.

Lưu ý rằng, theo quy ước, thời gian luôn là số dương. Vậy ta có điều kiện: x > 0 và y > 0.

Bây giờ, chúng ta sẽ biểu diễn lượng nước mỗi vòi chảy được trong một đơn vị thời gian.

Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể.
Trong 1 giờ, vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) bể.

Chúng ta sẽ phân tích thông tin từ đề bài để lập các phương trình.

Trường hợp 1: Hai vòi cùng chảy
Đề bài cho biết: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ đầy bể.
Điều này có nghĩa là, trong 2 giờ, cả hai vòi cùng chảy thì được 1 bể.
Lượng nước cả hai vòi chảy được trong 1 giờ là: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (bể/giờ).
Vậy, trong 2 giờ, lượng nước chảy được là: \(2 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})\) (bể).
Vì sau 2 giờ đầy bể, ta có phương trình đầu tiên:
\(2 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1\)
Chia cả hai vế cho 2, ta được:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\) (1)

Trường hợp 2: Mở vòi thứ nhất rồi khóa lại, mở vòi thứ hai
Đề bài cho biết: Nếu mở vòi thứ nhất trong 45 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ hai trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được 1/3 bể.

Chúng ta cần đổi đơn vị thời gian từ phút sang giờ để thống nhất.
45 phút = \(\frac{45}{60}\) giờ = \(\frac{3}{4}\) giờ.
30 phút = \(\frac{30}{60}\) giờ = \(\frac{1}{2}\) giờ.

Lượng nước vòi thứ nhất chảy được trong \(\frac{3}{4}\) giờ là: \(\frac{3}{4} \times \frac{1}{x} = \frac{3}{4x}\) (bể).
Lượng nước vòi thứ hai chảy được trong \(\frac{1}{2}\) giờ là: \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{y} = \frac{1}{2y}\) (bể).

Tổng lượng nước cả hai vòi chảy được là \(\frac{1}{3}\) bể.
Do đó, ta có phương trình thứ hai:
\(\frac{3}{4x} + \frac{1}{2y} = \frac{1}{3}\) (2)

Bây giờ chúng ta có một hệ phương trình với hai ẩn x và y:
\(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4x} + \frac{1}{2y} = \frac{1}{3} \end{cases}\)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ.
Đặt \(a = \frac{1}{x}\) và \(b = \frac{1}{y}\). Điều kiện của a và b là a > 0, b > 0 (vì x > 0, y > 0).
Hệ phương trình trở thành:
\(\begin{cases} a + b = \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b = \frac{1}{3} \end{cases}\)

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Cô chọn phương pháp thế.
Từ phương trình đầu tiên, ta rút ra: \(b = \frac{1}{2} – a\).

Thế biểu thức của b vào phương trình thứ hai:
\(\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}(\frac{1}{2} – a) = \frac{1}{3}\)
\(\frac{3}{4}a + \frac{1}{4} – \frac{1}{2}a = \frac{1}{3}\)

Gom các số hạng chứa a lại:
\((\frac{3}{4} – \frac{1}{2})a + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}\)
\((\frac{3}{4} – \frac{2}{4})a = \frac{1}{3} – \frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{4}a = \frac{4}{12} – \frac{3}{12}\)
\(\frac{1}{4}a = \frac{1}{12}\)

Nhân cả hai vế với 4 để tìm a:
\(a = \frac{1}{12} \times 4\)
\(a = \frac{4}{12}\)
\(a = \frac{1}{3}\)

Kiểm tra điều kiện a > 0: \(a = \frac{1}{3}\) thỏa mãn.

Bây giờ, chúng ta tìm b bằng cách thế giá trị của a vào biểu thức \(b = \frac{1}{2} – a\):
\(b = \frac{1}{2} – \frac{1}{3}\)
\(b = \frac{3}{6} – \frac{2}{6}\)
\(b = \frac{1}{6}\)

Kiểm tra điều kiện b > 0: \(b = \frac{1}{6}\) thỏa mãn.

Sau khi tìm được giá trị của a và b, chúng ta quay trở lại với ẩn ban đầu x và y.
Ta có:
\(a = \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{x} \Rightarrow x = 3\) (giờ)
\(b = \frac{1}{y} \Rightarrow \frac{1}{6} = \frac{1}{y} \Rightarrow y = 6\) (giờ)

Điều kiện x > 0 và y > 0 đều được thỏa mãn.

Vậy, vòi thứ nhất chảy một mình sẽ đầy bể trong 3 giờ.
Vòi thứ hai chảy một mình sẽ đầy bể trong 6 giờ.

Chúng ta có thể kiểm tra lại kết quả này với đề bài.
Trường hợp 1: Hai vòi cùng chảy trong 2 giờ.
Lượng nước vòi 1 chảy được trong 1 giờ là 1/3 bể. Trong 2 giờ là \(2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) bể.
Lượng nước vòi 2 chảy được trong 1 giờ là 1/6 bể. Trong 2 giờ là \(2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\) bể.
Tổng lượng nước chảy được trong 2 giờ: \(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1\) bể. (Đúng)

Trường hợp 2: Vòi 1 chảy 45 phút (3/4 giờ), vòi 2 chảy 30 phút (1/2 giờ).
Lượng nước vòi 1 chảy được: \(\frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}\) bể.
Lượng nước vòi 2 chảy được: \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\) bể.
Tổng lượng nước chảy được: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) bể. (Đúng)

Như vậy, các kết quả của chúng ta là chính xác.

Kết luận:
Nếu mỗi vòi chảy riêng thì:
Vòi thứ nhất sẽ đầy bể trong 3 giờ.
Vòi thứ hai sẽ đầy bể trong 6 giờ.

Các em thấy đấy, chỉ cần chúng ta nắm vững kiến thức về cách biểu diễn công việc và biết cách lập phương trình, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết những bài toán thực tế này một cách dễ dàng.

Chúc các em ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong học tập!