hàm số y=cosx/3 tuần hoàn với chu kì?
Bài tập của chúng ta hôm nay là: “Tìm chu kỳ tuần hoàn của hàm số y = cos(x/3).”
Để giải bài tập này, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa về hàm số tuần hoàn và chu kỳ của nó.
Bước 1: Nhắc lại định nghĩa hàm số tuần hoàn.
Một hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi x thuộc tập xác định của hàm số, ta có:
f(x + T) = f(x)
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kỳ tuần hoàn của hàm số.
Bước 2: Xét hàm số đã cho.
Hàm số của chúng ta là y = cos(x/3).
Chúng ta cần tìm một số T khác 0 sao cho:
cos((x + T)/3) = cos(x/3) với mọi x.
Bước 3: Sử dụng tính chất của hàm cos.
Chúng ta biết rằng hàm cos(u) tuần hoàn với chu kỳ là 2π. Nghĩa là:
cos(u + 2π) = cos(u) với mọi u.
Áp dụng tính chất này vào bài toán của chúng ta, ta có thể đặt u = x/3.
Để biểu thức bên trong hàm cos thay đổi đi một lượng tương ứng với chu kỳ của hàm cos, ta cần:
(x + T)/3 = x/3 + 2π
Bước 4: Tìm giá trị của T.
Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình để tìm T:
(x + T)/3 = x/3 + 2π
Nhân cả hai vế với 3, ta được:
x + T = x + 6π
Trừ cả hai vế cho x, ta được:
T = 6π
Bước 5: Kiểm tra xem T = 6π có phải là chu kỳ nhỏ nhất không.
Chúng ta đã tìm được một giá trị T = 6π thỏa mãn f(x + T) = f(x). Tuy nhiên, để khẳng định đây là chu kỳ tuần hoàn, chúng ta cần đảm bảo rằng không có số dương nào nhỏ hơn 6π mà cũng thỏa mãn điều kiện này.
Xét hàm số y = cos(ax). Chu kỳ tuần hoàn của hàm này là T = 2π / |a|.
Trong trường hợp hàm số y = cos(x/3), ta có a = 1/3.
Vậy, chu kỳ tuần hoàn của hàm số này là:
T = 2π / |1/3| = 2π / (1/3) = 2π * 3 = 6π.
Vì 6π là giá trị dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện, nên nó chính là chu kỳ tuần hoàn của hàm số.
Kết luận:
Hàm số y = cos(x/3) tuần hoàn với chu kỳ là 6π.
Các em thấy đó, chỉ cần nắm vững định nghĩa và một vài tính chất cơ bản của hàm lượng giác, chúng ta có thể giải quyết bài tập này một cách dễ dàng. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để kiến thức này thực sự vững chắc nhé! Chúc các em học tốt!
Đáp án + Giải thích các bước giải:
\(y = \cos \bigg(\dfrac{x}{3}\bigg)\)
\(= \cos \bigg(\dfrac{1}{3}x\bigg)\)
Ta có: \(\cos \bigg(\dfrac{1}{3}x\bigg) = \cos \bigg(\dfrac{1}{3}x + k2\pi\bigg)(k \in \mathbb{Z})\)
Chọn \(k\) là số dương nhỏ nhất \(\Leftrightarrow k = 1\)
\(\Rightarrow \cos \bigg(\dfrac{1}{3}x\bigg) = \cos \bigg(\dfrac{1}{3}x + 2\pi\bigg)\)
\(\Rightarrow \cos \bigg(\dfrac{1}{3}x\bigg) = \cos \bigg(\dfrac{1}{3}(x + 6\pi)\bigg)\)
\(\Rightarrow y = \cos \bigg(\dfrac{x}{3}\bigg)\) tuần hoàn với chu kỳ \(6\pi\)
Ta có hàm số:
y=cos x/3=(1/3) cos x
Đây là một hàm lượng giác cos được nhân với hằng số. Khi nhân cos với hằng số, biên độ thay đổi nhưng chu kì không đổi.
Hàm số cos x có chu kì là 2π
Khi nhân với hằng số (ở đây là 1/3), chu kì không thay đổi.
Vậy hàm số y=cos x/3 tuần hoàn với chu kì 2\(\pi\)