Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô sẽ cùng các em ôn tập và làm rõ một số kiến thức quan trọng về hằng đẳng thức đáng nhớ. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu hằng đẳng thức số 8 và số 9 theo sách giáo khoa Toán lớp 8.

Trước hết, chúng ta hãy cùng nhắc lại các hằng đẳng thức đã học.

Hằng đẳng thức số 8: Tổng hai lập phương

Hằng đẳng thức số 8 phát biểu rằng: “Tổng của hai lập phương bằng tích của tổng hai biểu thức với bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.”

Công thức của hằng đẳng thức số 8 là:
\[ (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 \]
Hoặc viết theo chiều ngược lại:
\[ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \]

Chúng ta cùng phân tích công thức này:
– Vế trái là tích của hai biểu thức: (a+b) và (a^2-ab+b^2).
– Vế phải là tổng của hai lập phương: a^3 và b^3.

Để hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ làm một ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức \( x^3 + 8 \).
Để áp dụng hằng đẳng thức số 8, ta cần đưa biểu thức về dạng tổng hai lập phương.
Ta thấy \( x^3 \) đã là lập phương của \( x \).
Số 8 có thể viết thành lập phương của 2, vì \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \).
Vậy, \( x^3 + 8 = x^3 + 2^3 \).
Áp dụng hằng đẳng thức \( a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \) với \( a = x \) và \( b = 2 \), ta có:
\( x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 – x \times 2 + 2^2) \)
\( x^3 + 8 = (x+2)(x^2 – 2x + 4) \)

Như vậy, \( x^3 + 8 \) được phân tích thành tích của hai biểu thức là \( (x+2) \) và \( (x^2 – 2x + 4) \).

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức \( (y+3)(y^2-3y+9) \).
Quan sát biểu thức này, ta thấy nó có dạng của vế trái trong hằng đẳng thức số 8: \( (a+b)(a^2-ab+b^2) \).
Ở đây, ta có \( a = y \) và \( b = 3 \).
Ta kiểm tra các thành phần:
– \( a+b = y+3 \) (đúng)
– \( a^2 = y^2 \) (đúng)
– \( ab = y \times 3 = 3y \) (đúng)
– \( b^2 = 3^2 = 9 \) (đúng)
Vậy, áp dụng hằng đẳng thức \( (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 \), ta có:
\( (y+3)(y^2-3y+9) = y^3 + 3^3 \)
\( (y+3)(y^2-3y+9) = y^3 + 27 \)

Hằng đẳng thức số 9: Hiệu hai lập phương

Hằng đẳng thức số 9 phát biểu rằng: “Hiệu của hai lập phương bằng tích của hiệu hai biểu thức với bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.”

Công thức của hằng đẳng thức số 9 là:
\[ (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 \]
Hoặc viết theo chiều ngược lại:
\[ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \]

Chúng ta cùng phân tích công thức này:
– Vế trái là tích của hai biểu thức: (a-b) và (a^2+ab+b^2).
– Vế phải là hiệu của hai lập phương: a^3 và b^3.

Lưu ý sự khác biệt với hằng đẳng thức số 8:
– Hằng đẳng thức số 8 liên quan đến “tổng” hai lập phương và có nhân tử là “tổng” \( (a+b) \).
– Hằng đẳng thức số 9 liên quan đến “hiệu” hai lập phương và có nhân tử là “hiệu” \( (a-b) \).
– Phần “bình phương thiếu” trong hằng đẳng thức số 8 là \( a^2-ab+b^2 \).
– Phần “bình phương thiếu” trong hằng đẳng thức số 9 là \( a^2+ab+b^2 \).

Bây giờ, chúng ta sẽ làm một vài ví dụ với hằng đẳng thức số 9.
Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức \( m^3 – 27 \).
Ta cần đưa biểu thức về dạng hiệu hai lập phương.
\( m^3 \) đã là lập phương của \( m \).
Số 27 có thể viết thành lập phương của 3, vì \( 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \).
Vậy, \( m^3 – 27 = m^3 – 3^3 \).
Áp dụng hằng đẳng thức \( a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) với \( a = m \) và \( b = 3 \), ta có:
\( m^3 – 3^3 = (m-3)(m^2 + m \times 3 + 3^2) \)
\( m^3 – 27 = (m-3)(m^2 + 3m + 9) \)

Như vậy, \( m^3 – 27 \) được phân tích thành tích của hai biểu thức là \( (m-3) \) và \( (m^2 + 3m + 9) \).

Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức \( (2n-1)(4n^2+2n+1) \).
Quan sát biểu thức này, ta thấy nó có dạng của vế trái trong hằng đẳng thức số 9: \( (a-b)(a^2+ab+b^2) \).
Ở đây, ta có \( a = 2n \) và \( b = 1 \).
Ta kiểm tra các thành phần:
– \( a-b = 2n-1 \) (đúng)
– \( a^2 = (2n)^2 = 4n^2 \) (đúng)
– \( ab = (2n) \times 1 = 2n \) (đúng)
– \( b^2 = 1^2 = 1 \) (đúng)
Vậy, áp dụng hằng đẳng thức \( (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 \), ta có:
\( (2n-1)(4n^2+2n+1) = (2n)^3 – 1^3 \)
\( (2n-1)(4n^2+2n+1) = 8n^3 – 1 \)

Qua các ví dụ trên, cô hy vọng các em đã nắm vững hơn hai hằng đẳng thức số 8 và số 9. Các em hãy ôn tập kỹ các công thức này và thường xuyên luyện tập để có thể áp dụng linh hoạt vào các bài tập nhé!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!