Hãy tìm phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với các hệ số a,b,c nguyên nh…
Chúng ta cần tìm phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với các hệ số \(a, b, c\) là số nguyên, sao cho \(x = \frac{\sqrt{5} – 2}{3}\) là một nghiệm của phương trình này.
Các em hãy nhớ lại định nghĩa nghiệm của phương trình bậc hai. Nếu \(x_0\) là nghiệm của phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\), thì khi thay \(x_0\) vào phương trình, ta sẽ được một đẳng thức đúng.
Bây giờ, chúng ta sẽ bắt đầu biến đổi để tìm ra phương trình.
Bước 1: Biến đổi nghiệm đã cho để loại bỏ căn bậc hai.
Ta có nghiệm \(x = \frac{\sqrt{5} – 2}{3}\).
Để loại bỏ căn bậc hai, chúng ta sẽ cô lập căn thức \(\sqrt{5}\) rồi bình phương hai vế.
Nhân cả hai vế với 3:
\(3x = \sqrt{5} – 2\)
Chuyển -2 sang vế trái:
\(3x + 2 = \sqrt{5}\)
Bây giờ, chúng ta bình phương cả hai vế của phương trình này:
\((3x + 2)^2 = (\sqrt{5})^2\)
Khai triển vế trái bằng công thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\):
\((3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = 5\)
\(9x^2 + 12x + 4 = 5\)
Bước 2: Chuyển phương trình về dạng \(ax^2 + bx + c = 0\).
Ta chuyển số 5 từ vế phải sang vế trái:
\(9x^2 + 12x + 4 – 5 = 0\)
\(9x^2 + 12x – 1 = 0\)
Bước 3: Kiểm tra các hệ số và kết luận.
Phương trình ta tìm được là \(9x^2 + 12x – 1 = 0\).
Ta thấy các hệ số của phương trình này là:
\(a = 9\)
\(b = 12\)
\(c = -1\)
Các hệ số \(a=9\), \(b=12\), \(c=-1\) đều là các số nguyên.
Do đó, phương trình \(9x^2 + 12x – 1 = 0\) là phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Lưu ý: Đề bài yêu cầu tìm “một” phương trình, nên phương trình \(9x^2 + 12x – 1 = 0\) là một đáp án hợp lệ. Nếu đề bài yêu cầu tìm “tất cả” các phương trình, chúng ta có thể nhân cả hai vế của phương trình này với một số nguyên khác 0 bất kỳ để tạo ra các phương trình tương đương, ví dụ như \(18x^2 + 24x – 2 = 0\), \(-9x^2 – 12x + 1 = 0\), v.v. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta chỉ cần tìm một phương trình.
Vậy, phương trình bậc hai cần tìm là \(9x^2 + 12x – 1 = 0\).
Hy vọng các em đã hiểu rõ cách làm bài tập này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!
Ta có: \(x=\dfrac{\sqrt{5}-2}{3}\) từ đây dễ dàng có \(x>\dfrac{-2}{3}\)
\(\Leftrightarrow 3x=\sqrt{5}-2\)
\(\Leftrightarrow 3x+2=\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow (3x+2)^2=5\)
\(\Leftrightarrow 9x^2+12x-1=0\)
Vậy \(a=9,b=12,c=-1\)