Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại một phần kiến thức quan trọng trong chương Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, đó là trường hợp hệ phương trình vô nghiệm.

Trước hết, chúng ta hãy nhắc lại về dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

{ ax + by = c
a’x + b’y = c’

Ở đây, a, b, c, a’, b’, c’ là các hệ số.

Chúng ta đã học các phương pháp giải hệ phương trình như phương pháp thế và phương pháp cộng đại số. Khi giải một hệ phương trình, chúng ta có thể gặp ba trường hợp:
1. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
2. Hệ phương trình có vô số nghiệm.
3. Hệ phương trình vô nghiệm.

Hôm nay, chúng ta sẽ tập trung vào trường hợp thứ ba: Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy, khi nào hệ phương trình vô nghiệm?

Để xác định điều này, chúng ta sẽ xét mối quan hệ giữa các hệ số của hai phương trình trong hệ.

Xét hệ phương trình:

{ ax + by = c
a’x + b’y = c’

Giả sử cả hai phương trình đều có hệ số của x và y khác 0, tức là \(a \neq 0, b \neq 0, a’ \neq 0, b’ \neq 0\).

Ta có thể biến đổi mỗi phương trình về dạng y = … hoặc x = …

Phương trình thứ nhất: \(by = -ax + c \Rightarrow y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\)

Phương trình thứ hai: \(b’y = -a’x + c’ \Rightarrow y = -\frac{a’}{b’}x + \frac{c’}{b’}\)

Để hệ phương trình có nghiệm, hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình này phải cắt nhau.
Để hệ phương trình vô nghiệm, hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình này phải song song với nhau và không trùng nhau.

Hai đường thẳng song song với nhau có cùng hệ số góc và có tung độ gốc khác nhau.
Từ các dạng \(y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\) và \(y = -\frac{a’}{b’}x + \frac{c’}{b’}\), ta có:

Hệ số góc của đường thẳng thứ nhất là \(m_1 = -\frac{a}{b}\).

Hệ số góc của đường thẳng thứ hai là \(m_2 = -\frac{a’}{b’}\).

Tung độ gốc của đường thẳng thứ nhất là \(n_1 = \frac{c}{b}\).

Tung độ gốc của đường thẳng thứ hai là \(n_2 = \frac{c’}{b’}\).

Để hai đường thẳng song song, ta cần \(m_1 = m_2\).

\(-\frac{a}{b} = -\frac{a’}{b’}\)

Nhân cả hai vế với -1:

\(\frac{a}{b} = \frac{a’}{b’}\)

Điều này tương đương với:

\(ab’ = a’b\)

Hoặc viết dưới dạng tỉ lệ:

\(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’}\) (nếu \(a’, b’ \neq 0\))

Để hai đường thẳng không trùng nhau (song song và không trùng), ta cần \(n_1 \neq n_2\).

\(\frac{c}{b} \neq \frac{c’}{b’}\)

Điều này tương đương với:

\(cb’ \neq c’b\)

Hoặc viết dưới dạng tỉ lệ:

\(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’}\) (nếu \(a’, b’, c’ \neq 0\))

Tổng kết lại:

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

{ ax + by = c
a’x + b’y = c’

sẽ vô nghiệm nếu tỉ lệ giữa các hệ số của x và y bằng nhau, nhưng khác với tỉ lệ của các hệ số tự do.

Cụ thể, nếu có \(a’, b’, c’ \neq 0\), hệ phương trình vô nghiệm khi:

\[ \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’} \]

Nếu một trong các hệ số \(a’, b’, c’\) bằng 0, chúng ta cần xét các trường hợp cụ thể hơn. Tuy nhiên, nguyên tắc cơ bản vẫn là sự so sánh tỉ lệ các hệ số.

Ví dụ minh họa:
Xét hệ phương trình:

{ 2x + 3y = 5
4x + 6y = 12

Ở đây, \(a=2, b=3, c=5\) và \(a’=4, b’=6, c’=12\).
Ta tính tỉ lệ các hệ số:

\(\frac{a}{a’} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{b}{b’} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{c}{c’} = \frac{5}{12}\)

Ta thấy \(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{1}{2}\) và \(\frac{1}{2} \neq \frac{5}{12}\), tức là \(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’}\).

Do đó, hệ phương trình này vô nghiệm.

Kết luận:
Khi gặp một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và sau khi kiểm tra các tỉ lệ hệ số mà ta thấy tỉ lệ của hệ số x bằng tỉ lệ của hệ số y, nhưng khác tỉ lệ của hệ số tự do, thì ta kết luận hệ phương trình đó vô nghiệm.

Các em hãy ghi nhớ điều này để áp dụng vào bài tập nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, hãy mạnh dạn hỏi thầy.