Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một bài toán nhỏ nhưng rất quan trọng, liên quan đến các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta vừa học trong chương trình Toán 8 nhé. Đây là một dạng bài rất hay gặp trong các bài kiểm tra đó!

Đề bài của chúng ta là:

Hệ số tự do trong khai triển của hằng đẳng thức \( (4x – 1)^2 \) là?

Chúng ta sẽ thực hiện theo từng bước thật cẩn thận để đảm bảo hiểu bài nhé!

Bước 1: Xác định hằng đẳng thức cần áp dụng

Quan sát biểu thức \( (4x – 1)^2 \), các em có thể thấy ngay đây là dạng “bình phương của một hiệu”.

Công thức tổng quát của bình phương của một hiệu là:

\[ (A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 \]

Giải thích: Công thức này giúp chúng ta khai triển nhanh một biểu thức có dạng hiệu của hai số hoặc biểu thức được nâng lên lũy thừa bậc hai, thay vì phải nhân đa thức với đa thức.

Bước 2: Xác định A và B trong biểu thức đã cho

So sánh \( (4x – 1)^2 \) với \( (A – B)^2 \), chúng ta dễ dàng nhận thấy:

• \( A = 4x \)
• \( B = 1 \)

Bước 3: Áp dụng công thức để khai triển biểu thức

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \( A = 4x \) và \( B = 1 \) vào công thức đã xác định ở Bước 1:

\[ (4x – 1)^2 = (4x)^2 – 2 \cdot (4x) \cdot (1) + (1)^2 \]

Giải thích: Đây là bước quan trọng nhất, chúng ta thực hiện việc thay thế cẩn thận để không bị nhầm lẫn giữa các số hạng.

Bước 4: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính toán từng số hạng:

• \( (4x)^2 = 4^2 \cdot x^2 = 16x^2 \)
• \( 2 \cdot (4x) \cdot (1) = 8x \)
• \( (1)^2 = 1 \)

Vậy, sau khi khai triển và rút gọn, chúng ta có:

\[ (4x – 1)^2 = 16x^2 – 8x + 1 \]

Bước 5: Xác định hệ số tự do

Hệ số tự do (hay còn gọi là hằng số) trong một đa thức là số hạng không chứa biến số \( x \) (hoặc bất kỳ biến nào).
Trong đa thức \( 16x^2 – 8x + 1 \), các số hạng là:

• \( 16x^2 \): chứa biến \( x^2 \)
• \( -8x \): chứa biến \( x \)
• \( +1 \): không chứa biến \( x \)

Vậy, số hạng không chứa biến \( x \) chính là \( +1 \).

Giải thích: Hệ số tự do là giá trị của đa thức khi tất cả các biến bằng 0. Ví dụ, nếu thay \( x=0 \) vào \( 16x^2 – 8x + 1 \), ta được \( 16(0)^2 – 8(0) + 1 = 1 \).

Kết luận:

Hệ số tự do trong khai triển của hằng đẳng thức \( (4x – 1)^2 \) là \( 1 \).

Mong rằng qua lời giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách khai triển hằng đẳng thức và cách xác định hệ số tự do. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!