help me
tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
cot (x+2pi/3)=-1
tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
cot (x+2pi/3)=-1
Để giải phương trình này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chuyển vế phải của phương trình về dạng \(\cot(\alpha)\)
Ta có phương trình:
\[\cot\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = -1\]
Ta cần tìm một góc \(\alpha\) sao cho \(\cot(\alpha) = -1\).
Dựa vào các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta biết rằng:
\[\cot\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1\]
Vì vậy, phương trình ban đầu có thể được viết lại dưới dạng:
\[\cot\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cot\left(-\frac{\pi}{4}\right)\]
Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình \(\cot(A) = \cot(B)\)
Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản, phương trình có dạng \(\cot(A) = \cot(B)\) sẽ có nghiệm là:
\[A = B + k\pi, \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Áp dụng công thức này vào phương trình của chúng ta, với \(A = x + \frac{2\pi}{3}\) và \(B = -\frac{\pi}{4}\), ta được:
\[x + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Bước 3: Tìm họ nghiệm của \(x\)
Bây giờ, ta sẽ giải phương trình trên để tìm \(x\):
\[x = -\frac{\pi}{4} – \frac{2\pi}{3} + k\pi\]
Quy đồng mẫu số để tính tổng hai phân số:
\[x = -\frac{3\pi}{12} – \frac{8\pi}{12} + k\pi\]
\[x = -\frac{11\pi}{12} + k\pi, \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Đây chính là họ nghiệm của phương trình đã cho.
Bước 4: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất
Yêu cầu của bài toán là tìm nghiệm dương nhỏ nhất, tức là ta cần tìm giá trị \(x > 0\) nhỏ nhất.
Từ họ nghiệm ở trên, ta có điều kiện:
\[-\frac{11\pi}{12} + k\pi > 0\]
\[k\pi > \frac{11\pi}{12}\]
Chia cả hai vế cho \(\pi\) (vì \(\pi > 0\)), ta được:
\[k > \frac{11}{12}\]
Vì \(k\) là một số nguyên (\(k \in \mathbb{Z}\)) và \(k > \frac{11}{12} \approx 0.916…\), nên giá trị nguyên nhỏ nhất của \(k\) thỏa mãn điều kiện này là \(k = 1\).
Với \(k=1\), ta thay vào họ nghiệm của \(x\):
\[x = -\frac{11\pi}{12} + 1 \cdot \pi = -\frac{11\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} = \frac{\pi}{12}\]
Giá trị này là một số dương và ứng với giá trị \(k\) nguyên nhỏ nhất thỏa mãn, nên đây chính là nghiệm dương nhỏ nhất cần tìm.
Kết luận
Vậy, nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(\frac{\pi}{12}\).
Chúc em học tốt nhé
Bạn xem hình
ĐK: \(\sin(x + \dfrac{2\pi}{3}) \neq 0\) hay \(x \neq -\dfrac{2\pi}{3} + k\pi\).
Ptrinh tương đương vs
\(tan(x + \dfrac{2\pi}{3}) = -1\)
Vậy \(x + \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi\) hay \(x = -\dfrac{7\pi}{12} + k\pi\)
Để là nghiệm dương thì
\(-\dfrac{7\pi}{12} + k\pi \geq 0\) hay \(k \geq \dfrac{7}{12}\)
Vậy \(k = 1\). Do đó, nghiệm dương nhỏ nhất là
\(x = \dfrac{5\pi}{12}\).