Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô sẽ cùng các em giải một bài toán hình học rất thú vị về hình thang cân. Đây là một dạng bài tập thường gặp và đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các tính chất của hình thang cân cũng như vận dụng linh hoạt định lý Pythagoras.

Đề bài của chúng ta là: Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính đường cao của hình thang cân đó.

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải bài toán này nhé!

Bước 1: Vẽ hình và gọi tên các yếu tố.

Trước hết, chúng ta cần hình dung và vẽ hình thang cân ABCD với đáy lớn CD và đáy nhỏ AB.

Gọi đường cao của hình thang cân là h.

Theo đề bài, chúng ta có:

• Đáy lớn CD = 10cm.
• Đáy nhỏ AB bằng đường cao, tức là AB = h.
• Đường chéo vuông góc với cạnh bên. Điều này có nghĩa là đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC (hoặc đường chéo AC vuông góc với cạnh bên AD). Trong hình thang cân, do tính đối xứng, hai trường hợp này là tương đương. Chúng ta sẽ chọn trường hợp BD \(\perp\) BC.

Bước 2: Kẻ đường cao và xác định các đoạn thẳng liên quan.

Từ A và B, kẻ các đường cao AE và BF xuống đáy lớn CD (E, F thuộc CD).

Vì ABCD là hình thang cân, nên:

• AE = BF = h (đường cao).
• ABFE là hình chữ nhật, nên EF = AB = h.
• DE = FC = \(\frac{CD – AB}{2} = \frac{10 – h}{2}\).

Bây giờ, chúng ta cần tìm độ dài của BC và AC (hoặc BD) theo h.

Xét tam giác vuông BFC (vuông tại F):

Theo định lý Pythagoras, ta có:
\[BC^2 = BF^2 + FC^2\]
Thay các giá trị đã biết vào:
\[BC^2 = h^2 + \left(\frac{10 – h}{2}\right)^2 \quad (1)\]

Tiếp theo, ta tính AC (chúng ta biết BD = AC trong hình thang cân).

Xét tam giác vuông AEC (vuông tại E):

Ta có: \(EC = EF + FC = h + \frac{10 – h}{2} = \frac{2h + 10 – h}{2} = \frac{10 + h}{2}\).

Theo định lý Pythagoras, ta có:
\[AC^2 = AE^2 + EC^2\]
Thay các giá trị đã biết vào:
\[AC^2 = h^2 + \left(\frac{10 + h}{2}\right)^2 \quad (2)\]

Bước 3: Vận dụng điều kiện đường chéo vuông góc với cạnh bên.

Theo đề bài, đường chéo vuông góc với cạnh bên. Với lựa chọn BD \(\perp\) BC, điều này có nghĩa là tam giác BCD là tam giác vuông tại B.

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông BCD (vuông tại B):
\[CD^2 = BD^2 + BC^2\]
Vì BD = AC (tính chất hình thang cân), ta có thể thay BD bằng AC:
\[CD^2 = AC^2 + BC^2\]
Thay CD = 10cm vào:
\[10^2 = AC^2 + BC^2\]
\[100 = AC^2 + BC^2 \quad (3)\]

Bước 4: Giải phương trình để tìm h.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay (1) và (2) vào (3):
\[100 = \left[h^2 + \left(\frac{10 + h}{2}\right)^2\right] + \left[h^2 + \left(\frac{10 – h}{2}\right)^2\right]\]
\[100 = 2h^2 + \frac{(10 + h)^2}{4} + \frac{(10 – h)^2}{4}\]
\[100 = 2h^2 + \frac{100 + 20h + h^2 + 100 – 20h + h^2}{4}\]
\[100 = 2h^2 + \frac{200 + 2h^2}{4}\]
\[100 = 2h^2 + 50 + \frac{h^2}{2}\]
Để dễ tính toán, chúng ta có thể nhân cả hai vế với 2:
\[200 = 4h^2 + 100 + h^2\]
\[200 = 5h^2 + 100\]
\[5h^2 = 200 – 100\]
\[5h^2 = 100\]
\[h^2 = \frac{100}{5}\]
\[h^2 = 20\]
Vì h là độ dài nên \(h > 0\).
\[h = \sqrt{20}\]
\[h = \sqrt{4 \cdot 5}\]
\[h = 2\sqrt{5}\]

Vậy, đường cao của hình thang cân đó là \(2\sqrt{5}\) cm.

Kết luận:

Bài toán này đã giúp chúng ta ôn lại các kiến thức quan trọng về hình thang cân, cách dựng đường cao để tạo ra các tam giác vuông và ứng dụng định lý Pythagoras. Điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài để xác định chính xác mối quan hệ vuông góc giữa đường chéo và cạnh bên. Chúc các em luôn học tốt môn Toán nhé!