Chào em, cô rất vui được hướng dẫn em bài toán này. Đây là một bài toán khá quen thuộc trong chương khảo sát hàm số, liên quan đến điều kiện về cực trị của hàm số. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước một nhé!

Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị.

Để hàm số có hai cực trị, đạo hàm bậc nhất của nó phải có hai nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + (2m + 3)x – 5\).
Ta đi tính đạo hàm bậc nhất:
\(y’ = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + (2m + 3)x – 5)\)
\(y’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 – m \cdot 2x + (2m + 3)\)
\(y’ = x^2 – 2mx + (2m + 3)\)

Để hàm số có hai cực trị, phương trình \(y’ = 0\) phải có hai nghiệm phân biệt. Tức là phương trình bậc hai \(x^2 – 2mx + (2m + 3) = 0\) phải có hai nghiệm phân biệt.
Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là biệt thức Delta phải lớn hơn 0.
\(\Delta’ = (-m)^2 – 1 \cdot (2m + 3)\)
\(\Delta’ = m^2 – 2m – 3\)

Ta cần \(\Delta’ > 0\):
\(m^2 – 2m – 3 > 0\)

Để giải bất phương trình này, ta tìm nghiệm của \(m^2 – 2m – 3 = 0\).
Ta có thể phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm. Ở đây ta thấy dễ dàng phân tích:
\((m – 3)(m + 1) = 0\)
Vậy nghiệm là \(m = 3\) hoặc \(m = -1\).

Bất phương trình \(m^2 – 2m – 3 > 0\) có dấu tam thức bậc hai hướng lên, nên nó dương khi \(m\) nằm ngoài khoảng hai nghiệm.
Vậy điều kiện để hàm số có hai cực trị là \(m < -1\) hoặc \(m > 3\).

Bước 2: Xác định điều kiện để hai cực trị nằm về hai phía của trục tung.

Hai cực trị của hàm số y = f(x) là các điểm cực trị, tức là các điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y’ = 0.
Gọi hai nghiệm của phương trình \(y’ = x^2 – 2mx + (2m + 3) = 0\) là \(x_1\) và \(x_2\). Đây chính là hoành độ của hai điểm cực trị.
Trục tung có phương trình là \(x = 0\).
Hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung có nghĩa là hai hoành độ \(x_1\) và \(x_2\) phải trái dấu nhau. Tức là, một nghiệm dương và một nghiệm âm.
Điều kiện để hai nghiệm trái dấu nhau là tích của hai nghiệm phải âm.
Theo định lý Vi-et, với phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\), tổng hai nghiệm là \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) và tích hai nghiệm là \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\).
Áp dụng cho phương trình \(x^2 – 2mx + (2m + 3) = 0\), ta có:
\(x_1 + x_2 = – \frac{-2m}{1} = 2m\)
\(x_1 x_2 = \frac{2m + 3}{1} = 2m + 3\)

Để hai cực trị nằm về hai phía của trục tung, ta cần \(x_1 x_2 < 0\). \(2m + 3 < 0\) \(2m < -3\) \(m < -\frac{3}{2}\) Bước 3: Kết hợp các điều kiện để tìm giá trị của m.

Chúng ta cần cả hai điều kiện sau đây cùng thỏa mãn:
1. Hàm số có hai cực trị: \(m < -1\) hoặc \(m > 3\).
2. Hai cực trị nằm về hai phía của trục tung: \(m < -\frac{3}{2}\). Bây giờ, ta sẽ vẽ trục số hoặc xét trên từng khoảng để tìm giá trị của \(m\) thỏa mãn cả hai điều kiện. Xét điều kiện 1: \(m \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)\) Xét điều kiện 2: \(m \in (-\infty, -\frac{3}{2})\) Ta cần tìm giao của hai tập hợp này. \(-\frac{3}{2} = -1.5\). Vì \(-1.5 < -1\), nên khoảng \(m < -\frac{3}{2}\) sẽ bao hàm một phần của khoảng \(m < -1\). Phần giao của \(m < -\frac{3}{2}\) và \(m < -1\) chính là \(m < -\frac{3}{2}\). Phần giao của \(m < -\frac{3}{2}\) và \(m > 3\) là tập rỗng vì không có số nào vừa nhỏ hơn -1.5 và lớn hơn 3.

Do đó, điều kiện cuối cùng để hai cực trị nằm về hai phía của trục tung là \(m < -\frac{3}{2}\). Vậy đáp án cho câu hỏi đầu tiên là m < -3/2. Bây giờ, chúng ta sẽ trả lời câu hỏi thứ hai của em: “Điều kiện để có hai điểm cực trị nằm về 1 phía thì phải làm sao ạ?”.

Để hai điểm cực trị nằm về cùng một phía của trục tung, có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Cả hai điểm cực trị đều nằm về phía bên phải trục tung (hoành độ đều dương).
Trường hợp 2: Cả hai điểm cực trị đều nằm về phía bên trái trục tung (hoành độ đều âm).

Giống như bước trên, chúng ta vẫn cần điều kiện ban đầu để hàm số có hai cực trị, đó là:
\(m < -1\) hoặc \(m > 3\).

Bây giờ, ta xét hai trường hợp cho hoành độ \(x_1\) và \(x_2\):

Trường hợp 1: Cả hai hoành độ đều dương (\(x_1 > 0\) và \(x_2 > 0\)).
Để hai nghiệm của phương trình bậc hai cùng dương, ta cần thỏa mãn ba điều kiện sau:
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt (đã có ở bước 1): \(\Delta’ > 0 \implies m < -1\) hoặc \(m > 3\).
b) Tổng hai nghiệm dương: \(x_1 + x_2 > 0\).
Ta có \(x_1 + x_2 = 2m\). Vậy \(2m > 0 \implies m > 0\).
c) Tích hai nghiệm dương: \(x_1 x_2 > 0\).
Ta có \(x_1 x_2 = 2m + 3\). Vậy \(2m + 3 > 0 \implies m > -\frac{3}{2}\).

Kết hợp ba điều kiện a), b), c):
a) \(m \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)\)
b) \(m \in (0, \infty)\)
c) \(m \in (-\frac{3}{2}, \infty)\)

Giao của ba tập hợp này:
Ta thấy \(m > 0\) và \(m > -\frac{3}{2}\) thì cho ta \(m > 0\).
Bây giờ, ta giao \(m > 0\) với \((m < -1\) hoặc \(m > 3)\).
Phần giao của \(m > 0\) và \(m < -1\) là rỗng. Phần giao của \(m > 0\) và \(m > 3\) là \(m > 3\).
Vậy, trường hợp cả hai hoành độ đều dương là \(m > 3\).

Trường hợp 2: Cả hai hoành độ đều âm (\(x_1 < 0\) và \(x_2 < 0\)).
Để hai nghiệm của phương trình bậc hai cùng âm, ta cần thỏa mãn ba điều kiện sau:
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt (đã có ở bước 1): \(\Delta’ > 0 \implies m < -1\) hoặc \(m > 3\).
b) Tổng hai nghiệm âm: \(x_1 + x_2 < 0\). Ta có \(x_1 + x_2 = 2m\). Vậy \(2m < 0 \implies m < 0\). c) Tích hai nghiệm dương: \(x_1 x_2 > 0\). (Lưu ý: hai số âm nhân với nhau ra số dương)
Ta có \(x_1 x_2 = 2m + 3\). Vậy \(2m + 3 > 0 \implies m > -\frac{3}{2}\).

Kết hợp ba điều kiện a), b), c):
a) \(m \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)\)
b) \(m \in (-\infty, 0)\)
c) \(m \in (-\frac{3}{2}, \infty)\)

Giao của ba tập hợp này:
Ta cần tìm \(m\) sao cho \(-\frac{3}{2} < m < 0\). Bây giờ, ta giao khoảng \((-\frac{3}{2}, 0)\) với \((m < -1\) hoặc \(m > 3)\).
Phần giao của \((-\frac{3}{2}, 0)\) và \(m < -1\) là \((-\frac{3}{2}, -1)\). Phần giao của \((-\frac{3}{2}, 0)\) và \(m > 3\) là rỗng.
Vậy, trường hợp cả hai hoành độ đều âm là \(-\frac{3}{2} < m < -1\). Kết luận cho câu hỏi thứ hai:
Hai điểm cực trị nằm về cùng một phía của trục tung khi và chỉ khi một trong hai trường hợp trên xảy ra. Do đó, ta hợp hai kết quả lại:
– Trường hợp 1: \(m > 3\)
– Trường hợp 2: \(-\frac{3}{2} < m < -1\) Vậy, điều kiện để hai điểm cực trị nằm về cùng một phía của trục tung là \(m \in (-\frac{3}{2}, -1) \cup (3, \infty)\). Em có thể thấy rằng, điều kiện để hai cực trị nằm về hai phía của trục tung (\(m < -\frac{3}{2}\)) và điều kiện để hai cực trị nằm về cùng một phía của trục tung (\(m \in (-\frac{3}{2}, -1) \cup (3, \infty)\)) là hai điều kiện bù nhau, cộng với trường hợp biên là khi một trong hai cực trị nằm trên trục tung (tức là một nghiệm bằng 0). Hy vọng phần giải thích chi tiết này giúp em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào khác, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!