khai triển |x1|=2|x2|
Để khai triển một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa của giá trị tuyệt đối.
Nhắc lại kiến thức:
Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu là |a|, được định nghĩa như sau:
– Nếu a \(\ge\) 0 thì |a| = a.
– Nếu a < 0 thì |a| = –a.
Như vậy, khi gặp một biểu thức dạng |x| = k (với k \(\ge\) 0), chúng ta sẽ có hai trường hợp xảy ra đối với x: hoặc x = k, hoặc x = –k.
Bây giờ, chúng ta áp dụng điều này vào bài tập của mình: |x1|=2|x2|.
Chúng ta có thể xem biểu thức này như dạng |A| = B, trong đó A = x1 và B = 2|x2|.
Tuy nhiên, cách tiếp cận hiệu quả hơn là xem xét hai vế của phương trình.
Ta có hai trường hợp có thể xảy ra dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối cho |x1|:
Trường hợp 1: x1 = 2|x2|
Trong trường hợp này, x1 phải là một giá trị không âm, vì nó bằng 2 lần một giá trị tuyệt đối khác (mà giá trị tuyệt đối luôn không âm).
Bây giờ, ta lại tiếp tục khai triển biểu thức 2|x2|.
Chúng ta có hai khả năng cho |x2|:
* Trường hợp 1.1: x2 \(\ge\) 0.
Khi đó, |x2| = x2.
Thay vào biểu thức của trường hợp 1, ta được:
x1 = 2 * x2
Hay viết gọn là: x1 = 2×2.
* Trường hợp 1.2: x2 < 0.
Khi đó, |x2| = -x2.
Thay vào biểu thức của trường hợp 1, ta được:
x1 = 2 * (-x2)
Hay viết gọn là: x1 = -2x2.
Như vậy, từ Trường hợp 1, chúng ta thu được hai kết quả: x1 = 2x2 và x1 = -2x2.
Trường hợp 2: x1 = -(2|x2|)
Hay viết gọn là: x1 = -2|x2|.
Trong trường hợp này, x1 là một giá trị không dương.
Tiếp tục khai triển biểu thức 2|x2| với hai khả năng cho |x2|:
* Trường hợp 2.1: x2 \(\ge\) 0.
Khi đó, |x2| = x2.
Thay vào biểu thức của trường hợp 2, ta được:
x1 = -2 * x2
Hay viết gọn là: x1 = -2×2.
* Trường hợp 2.2: x2 < 0. Khi đó, |x2| = -x2. Thay vào biểu thức của trường hợp 2, ta được: x1 = -2 * (-x2) Hay viết gọn là: x1 = 2x2. Sau khi xem xét cả hai trường hợp chính, chúng ta thấy rằng các kết quả thu được là: - x1 = 2x2 - x1 = -2x2 Đây chính là kết quả khai triển của biểu thức |x1|=2|x2|. Chúng ta có thể viết lại kết quả cuối cùng một cách gọn gàng như sau: |x1| = 2|x2| \(\iff\) x1 = 2x2 hoặc x1 = -2x2. Các em thấy đấy, việc khai triển biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối chủ yếu dựa vào định nghĩa và việc phân chia thành các trường hợp hợp lý. Chúc các em học tốt!
Đáp án: \(m\in\{\dfrac12, \dfrac32, 3,-1\}\)
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(x^2-mx+m-1=0\)
\(\to (x^2-1)-(mx-m)=0\)
\(\to (x-1)(x+1)-m(x-1)=0\)
\(\to (x-1)(x+1-m)=0\)
\(\to x=1\) hoặc \(x=m-1\)
Mà \(|x_1|=2|x_2|\)
\(\to |1|=2|m-1|\) hoặc \(|m-1|=2|1|\)
Giải \(|1|=2|m-1|\[
\)\to 2|m-1|=1\(
\)\to |m-1|=\dfrac12\(
\)\to m-1=\dfrac12\( hoặc \)m-1=-\dfrac12\(
\)\to m\in\{\dfrac12,\dfrac32\}\(
Giải \)|m-1|=2|1|\]
\(\to |m-1|=2\)
\(\to m-1=2\) hoặc \(m-1=-2\)
\(\to m=3\) hoặc \(m=-1\)
\(\to m\in\{\dfrac12, \dfrac32, 3,-1\}\)
\(x^2-mx+m-1\)
\(Delta=b^2-4ac=(-m)^2-4*1(m-1)\)
\(= m^2-4m+4\)
\(= (m-2)^2>0\) với \(m ne 2\)
Vậy \(m ne 2\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo Viète , có
\({(x_1+x_2=m(1)),(x_1x_2=m-1(2)):}\)
Theo đề bài
\(|x_1|=2|x_2|\)
TH1: \(x_1>=0\), \(x_2>=0\)
\(<=> x_1=2x_2(3)\)
Từ \((1)\), \((3)\) lập hệ
\({(x_1+x_2=m),(x_1=2x_2):}\)
\(<=> {(x_2=m/3),(x_1=[2m]/3):} (***)\)
Thay \((***)\) vào \((2)\) có
\(m/3 * [2m]/3=m-1\)
\(<=> [2m^2]/9=m-1\)
\(<=> 2m^2-9m+9=0\)
\(<=> (m-3)(2m-3)=0\)
\(<=> m=3\) hoặc \(m=3/2\). (nhận)
TH2: \(x_1<0\) hoặc \(x_2>=0\)
\(<=> x_1=-2x_2(4)\)
Từ \((1)\), \((4)\) lập hệ
\({(x_1+x_2=m),(x_1=-2x_2):}\)
\(<=> {(x_2=-m),(x_1=2m):} (******)\)
Thay \((******)\) vào \((2)\) có
\(-m * 2m=m-1\)
\(<=> -2m^2-m+1=0\)
\(<=> 2m^2+m-1=0\)
\(<=> (m+1)(2m-1)=0\)
\(<=> m=-1\) hoặc \(m=1/2\) (loại)
Vậy \(m in {3; 3/2}\) thì thỏa mãn đề.
\(#\) Dandelion