Khi đĩa quay đều thì 1 điểm trên vành đĩa chuyển động với vận tốc 3m/s. Một điểm…
Chúng ta cùng bắt đầu nhé!
Hướng dẫn giải bài tập:
Phân tích và tóm tắt đề bài:
Đề bài cho chúng ta biết một đĩa quay đều, điều này ngụ ý rằng tốc độ góc (\(\omega\)) của mọi điểm trên đĩa là như nhau. Chúng ta có thông tin về hai điểm trên đĩa:
- Một điểm trên vành đĩa (gọi là điểm 1) có tốc độ dài là \(v_1 = 3 \, \text{m/s}\). Gọi bán kính của điểm này là \(R_1\).
- Một điểm nằm gần trục quay hơn (gọi là điểm 2) có tốc độ dài là \(v_2 = 2 \, \text{m/s}\). Gọi bán kính của điểm này là \(R_2\).
- Điểm 2 cách điểm 1 một đoạn 10cm về phía trục quay, tức là \(R_1 – R_2 = 10 \, \text{cm}\).
Yêu cầu: Xác định tần số (\(f\)), chu kỳ (\(T\)) và gia tốc hướng tâm (\(a_{ht}\)) của các điểm trên đĩa.
Các bước giải chi tiết:
Bước 1: Đổi đơn vị
Trước hết, chúng ta cần đổi đơn vị khoảng cách từ cm sang m để đồng bộ với đơn vị vận tốc (m/s).
\[R_1 – R_2 = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m}\]
Bước 2: Thiết lập các phương trình dựa trên tốc độ dài
Chúng ta biết rằng trong chuyển động tròn đều, tốc độ dài (\(v\)) của một điểm trên vật quay được tính bằng công thức:
\[v = \omega R\]
Trong đó:
- \(v\) là tốc độ dài.
- \(\omega\) là tốc độ góc (rad/s), không đổi đối với mọi điểm trên cùng một vật quay cứng.
- \(R\) là bán kính quỹ đạo tròn của điểm đó.
Áp dụng công thức này cho hai điểm đã cho:
- Đối với điểm 1 (trên vành đĩa): \(v_1 = \omega R_1 \Rightarrow 3 = \omega R_1\) (Phương trình 1)
- Đối với điểm 2 (gần trục quay hơn): \(v_2 = \omega R_2 \Rightarrow 2 = \omega R_2\) (Phương trình 2)
Chúng ta cũng có mối quan hệ giữa hai bán kính:
\[R_1 – R_2 = 0.1\] (Phương trình 3)
Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm tốc độ góc (\(\omega\))
Từ Phương trình 1, ta có: \(R_1 = \frac{3}{\omega}\)
Từ Phương trình 2, ta có: \(R_2 = \frac{2}{\omega}\)
Thay \(R_1\) và \(R_2\) vào Phương trình 3:
\[\frac{3}{\omega} – \frac{2}{\omega} = 0.1\]
\[\frac{3 – 2}{\omega} = 0.1\]
\[\frac{1}{\omega} = 0.1\]
Suy ra tốc độ góc \(\omega\):
\[\omega = \frac{1}{0.1} = 10 \, \text{rad/s}\]
Vậy, đĩa quay với tốc độ góc là \(10 \, \text{rad/s}\).
Bước 4: Xác định bán kính của mỗi điểm
Sau khi tìm được \(\omega\), chúng ta có thể dễ dàng xác định bán kính của mỗi điểm:
- Bán kính của điểm 1: \(R_1 = \frac{3}{\omega} = \frac{3}{10} = 0.3 \, \text{m}\)
- Bán kính của điểm 2: \(R_2 = \frac{2}{\omega} = \frac{2}{10} = 0.2 \, \text{m}\)
Kiểm tra lại: \(R_1 – R_2 = 0.3 – 0.2 = 0.1 \, \text{m}\), đúng với đề bài.
Bước 5: Xác định tần số (\(f\))
Tần số (\(f\)) liên hệ với tốc độ góc (\(\omega\)) qua công thức:
\[\omega = 2\pi f\]
Từ đó, chúng ta có thể tìm tần số:
\[f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi} \, \text{Hz}\]
Nếu lấy \(\pi \approx 3.14\), thì:
\[f \approx \frac{5}{3.14} \approx 1.59 \, \text{Hz}\]
Bước 6: Xác định chu kỳ (\(T\))
Chu kỳ (\(T\)) là đại lượng nghịch đảo của tần số (\(f\)), hoặc liên hệ trực tiếp với tốc độ góc (\(\omega\)) theo công thức:
\[T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}\]
Sử dụng giá trị của \(f\) vừa tìm được:
\[T = \frac{1}{5/\pi} = \frac{\pi}{5} \, \text{s}\]
Nếu lấy \(\pi \approx 3.14\), thì:
\[T \approx \frac{3.14}{5} \approx 0.63 \, \text{s}\]
Bước 7: Xác định gia tốc hướng tâm (\(a_{ht}\))
Gia tốc hướng tâm (\(a_{ht}\)) được tính bằng các công thức:
\[a_{ht} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R\]
Vì gia tốc hướng tâm phụ thuộc vào bán kính \(R\) (và tốc độ dài \(v\)), nên gia tốc hướng tâm của hai điểm sẽ khác nhau.
a) Gia tốc hướng tâm của điểm trên vành đĩa (điểm 1):
Chúng ta có \(v_1 = 3 \, \text{m/s}\) và \(R_1 = 0.3 \, \text{m}\), hoặc \(\omega = 10 \, \text{rad/s}\).
Sử dụng công thức \(a_{ht1} = \frac{v_1^2}{R_1}\):
\[a_{ht1} = \frac{3^2}{0.3} = \frac{9}{0.3} = 30 \, \text{m/s}^2\]
Hoặc sử dụng công thức \(a_{ht1} = \omega^2 R_1\):
\[a_{ht1} = (10)^2 \times 0.3 = 100 \times 0.3 = 30 \, \text{m/s}^2\]
b) Gia tốc hướng tâm của điểm nằm gần trục quay hơn (điểm 2):
Chúng ta có \(v_2 = 2 \, \text{m/s}\) và \(R_2 = 0.2 \, \text{m}\), hoặc \(\omega = 10 \, \text{rad/s}\).
Sử dụng công thức \(a_{ht2} = \frac{v_2^2}{R_2}\):
\[a_{ht2} = \frac{2^2}{0.2} = \frac{4}{0.2} = 20 \, \text{m/s}^2\]
Hoặc sử dụng công thức \(a_{ht2} = \omega^2 R_2\):
\[a_{ht2} = (10)^2 \times 0.2 = 100 \times 0.2 = 20 \, \text{m/s}^2\]
Kết luận:
Vậy, sau khi giải quyết bài toán một cách chi tiết, chúng ta có các kết quả sau:
- Tốc độ góc của đĩa là: \(\omega = 10 \, \text{rad/s}\)
- Tần số của đĩa là: \(f = \frac{5}{\pi} \approx 1.59 \, \text{Hz}\)
- Chu kỳ quay của đĩa là: \(T = \frac{\pi}{5} \approx 0.63 \, \text{s}\)
- Gia tốc hướng tâm của điểm trên vành đĩa (điểm 1) là: \(a_{ht1} = 30 \, \text{m/s}^2\)
- Gia tốc hướng tâm của điểm nằm gần trục quay hơn (điểm 2) là: \(a_{ht2} = 20 \, \text{m/s}^2\)
Đây là một dạng bài tập rất cơ bản và quan trọng, giúp các em nắm vững mối quan hệ giữa các đại lượng trong chuyển động tròn đều. Hãy ghi nhớ các công thức và phương pháp giải này nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy. Chúc các em học tốt!
Gọi khoảng cách từ tâm đĩa đến điểm trên vành đĩa là \(R\)
Khoảng cách từ tâm đĩa đến điểm cách vành đĩa 10cm là: \(r = R – 0,1\)
Ta có:
+ Vận tốc dài của điểm trên vành đĩa: \({v_1} = \omega R = 3m/s\) (1)
+ Vận tốc dài trên điểm cách vành đĩa 10cm là \({v_2} = \omega r = \omega \left( {R – 0,1} \right) = 2m/s\) (2)
Lấy \(\dfrac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 2 \right)}}\) ta được: \(\dfrac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{{\omega R}}{{\omega \left( {R – 0,1} \right)}}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} = \dfrac{R}{{R – 0,1}}\\ \Rightarrow R = 0,3m = 30cm\end{array}\)
Thay vào (1) ta suy ra: \(\omega = \dfrac{{{v_1}}}{R} = \dfrac{3}{{0,3}} = 10\left( {rad/s} \right)\)
+ Tần số : \(f = \dfrac{\omega }{{2\pi }} = \dfrac{{10}}{{2\pi }} = \dfrac{5}{\pi } \approx 1,59Hz\)
+ Chu kì: \(T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{\pi }{5} \approx 0,628s\)
+ Gia tốc hướng tâm:
– Tại điểm trên vành đĩa: \({a_1} = {\omega ^2}R = {10^2}.0,3 = 30\left( {m/{s^2}} \right)\)
– Tại điểm cách vành đĩa 10cm: \({a_2} = {\omega ^2}r = {10^2}.0,{2^2} = 20\left( {m/{s^2}} \right)\)