Xin chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tính giá trị lượng giác khá thú vị mà không cần dùng đến máy tính, đó là tính tan(pi/8). Bài tập này nằm trong chương trình lượng giác lớp 11 của chúng ta.

Cô sẽ hướng dẫn các em từng bước một nhé.

Bước 1: Xác định góc và công thức áp dụng

Chúng ta cần tính tan(pi/8). Góc này có vẻ hơi đặc biệt, không phải là những góc quen thuộc như pi/6, pi/4, pi/3. Tuy nhiên, các em hãy để ý rằng pi/8 = (pi/4) / 2. Điều này gợi cho chúng ta nhớ đến công thức hạ bậc hoặc công thức chia đôi trong lượng giác. Trong trường hợp này, công thức chia đôi cho tan là phù hợp nhất.

Công thức chia đôi cho tan được phát biểu như sau:

Nếu cos(x) khác -1, thì \( \tan(\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 – \cos(x)}{1 + \cos(x)}} \)

Tuy nhiên, có một cách khác biến đổi công thức này để tránh dấu căn và tránh phải xét dấu, đó là:

Nếu cos(x) khác -1, thì \( \tan(\frac{x}{2}) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} \) hoặc \( \tan(\frac{x}{2}) = \frac{1 – \cos(x)}{\sin(x)} \)

Cô khuyến khích các em sử dụng công thức thứ hai: \( \tan(\frac{x}{2}) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} \) vì nó thường đơn giản hơn trong nhiều trường hợp.

Trong bài toán của chúng ta, ta có thể đặt \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{8} \), suy ra \( x = \frac{\pi}{4} \).

Bước 2: Tính giá trị của sin(x) và cos(x)

Với \( x = \frac{\pi}{4} \), chúng ta đã biết các giá trị lượng giác quen thuộc:

sin(pi/4) = \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

cos(pi/4) = \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Bước 3: Thay thế giá trị vào công thức

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị vừa tìm được vào công thức \( \tan(\frac{x}{2}) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} \).

Ta có:

tan(pi/8) = tan( (pi/4) / 2 ) = \( \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{1 + \cos(\frac{\pi}{4})} \)

= \( \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} \)

Bước 4: Rút gọn biểu thức

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số ở mẫu:

= \( \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \)

Khi chia hai phân số, ta nhân phân số thứ nhất với nghịch đảo của phân số thứ hai:

= \( \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{2}{2 + \sqrt{2}} \)

= \( \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \)

Bây giờ, để mẫu số đẹp hơn, chúng ta sẽ nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu số, tức là \( 2 – \sqrt{2} \):

= \( \frac{\sqrt{2}(2 – \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 – \sqrt{2})} \)

Áp dụng hằng đẳng thức \( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \) ở mẫu số:

= \( \frac{2\sqrt{2} – (\sqrt{2})^2}{2^2 – (\sqrt{2})^2} \)

= \( \frac{2\sqrt{2} – 2}{4 – 2} \)

= \( \frac{2\sqrt{2} – 2}{2} \)

Cuối cùng, chúng ta chia cả tử và mẫu cho 2:

= \( \sqrt{2} – 1 \)

Vậy là chúng ta đã tính toán xong!

Kết luận:

tan(pi/8) = \( \sqrt{2} – 1 \)

Cô hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách áp dụng công thức chia đôi để tính giá trị lượng giác của một góc đặc biệt. Hãy nhớ rằng, việc nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và khả năng biến đổi, rút gọn biểu thức là chìa khóa để giải quyết các bài toán như thế này nhé!