Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán hình học không gian rất thú vị liên quan đến Kim tự tháp Kheops – một trong những kì quan của thế giới cổ đại. Đây là một dạng bài điển hình trong chương trình Toán lớp 11 về góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp đều.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Phân tích đề bài và xác định yêu cầu:

Bài toán cho chúng ta biết Kim tự tháp Kheops có dạng hình chóp đều với đáy là hình vuông. Các thông số đã cho là:

• Cạnh bên: 214m
• Cạnh đáy: 230m

Yêu cầu của bài toán là tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp (làm tròn đến hàng phần chục theo độ).

Phương pháp giải:

Để tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định góc cần tìm: Góc giữa mặt phẳng (mặt bên) và mặt phẳng (mặt đáy) là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó tại một điểm.
2. Tính toán các độ dài cần thiết.
3. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (cụ thể là các tỉ số lượng giác) để tìm góc.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào từng bước giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Vẽ hình minh họa và xác định góc cần tìm

Gọi hình chóp đều là \(S.ABCD\), trong đó \(S\) là đỉnh, \(ABCD\) là đáy hình vuông.

Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\). (Thầy khuyến khích các em hãy tự vẽ hình vào vở để dễ hình dung hơn nhé!)

Chiều cao của hình chóp là \(SO\).

Chúng ta cần tìm góc giữa một mặt bên (ví dụ: mặt \(SCD\)) và mặt đáy (\(ABCD\)).

• Giao tuyến của mặt phẳng \((SCD)\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là cạnh \(CD\).
• Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(CD\).
• Vì \(ABCD\) là hình vuông và \(O\) là tâm, \(OM\) sẽ vuông góc với \(CD\).
• Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều, tam giác \(SCD\) là tam giác cân tại \(S\). Do đó, đường trung tuyến \(SM\) cũng là đường cao, suy ra \(SM \perp CD\).

Vậy, góc giữa mặt bên \((SCD)\) và mặt đáy \((ABCD)\) chính là góc giữa hai đường thẳng \(OM\) và \(SM\). Hay nói cách khác, đó là góc \(\angle SMO\).

Bước 2: Tính toán các độ dài cần thiết

Theo đề bài:

• Cạnh đáy hình vuông \(a = CD = 230m\).
• Cạnh bên \(b = SC = SD = 214m\).

2.1. Tính độ dài \(OM\):

Vì \(ABCD\) là hình vuông có cạnh \(a = 230m\), và \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(O\) là tâm của hình vuông, nên \(OM\) là một nửa cạnh của hình vuông (cụ thể là \(OM = \frac{AD}{2}\) hoặc \(OM = \frac{AB}{2}\)).

\[ OM = \frac{CD}{2} = \frac{230}{2} = 115 \text{ (m)} \]

2.2. Tính độ dài \(SM\):

Xét tam giác \(SCD\). Đây là tam giác cân tại \(S\). \(M\) là trung điểm của \(CD\), nên \(SM\) là đường cao. Do đó, tam giác \(SMC\) là tam giác vuông tại \(M\).

Trong tam giác vuông \(SMC\), ta có:

• Cạnh huyền \(SC = 214m\) (cạnh bên).
• Cạnh góc vuông \(MC = \frac{CD}{2} = \frac{230}{2} = 115m\).

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông \(SMC\):

\[ SM^2 + MC^2 = SC^2 \]
\[ SM^2 = SC^2 – MC^2 \]
\[ SM^2 = 214^2 – 115^2 \]
\[ SM^2 = 45796 – 13225 \]
\[ SM^2 = 32571 \]
\[ SM = \sqrt{32571} \text{ (m)} \]

Chúng ta giữ giá trị căn bậc hai này để tính toán được chính xác nhất ở bước tiếp theo.

Bước 3: Sử dụng tỉ số lượng giác để tìm góc \(\angle SMO\)

Xét tam giác \(SOM\):

• \(SO\) là chiều cao của hình chóp, nên \(SO \perp (ABCD)\), suy ra \(SO \perp OM\).
• Vậy, tam giác \(SOM\) là tam giác vuông tại \(O\).

Trong tam giác vuông \(SOM\), chúng ta đã biết độ dài của cạnh kề góc \(\angle SMO\) là \(OM\) và độ dài cạnh huyền là \(SM\). Do đó, chúng ta sẽ sử dụng hàm cosin:

\[ \cos(\angle SMO) = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{OM}{SM} \]

Thay các giá trị đã tính vào:

\[ \cos(\angle SMO) = \frac{115}{\sqrt{32571}} \]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị xấp xỉ của \(\cos(\angle SMO)\) và sau đó tìm góc:

\[ \cos(\angle SMO) \approx \frac{115}{180.47437} \]
\[ \cos(\angle SMO) \approx 0.63720 \]

Để tìm góc \(\angle SMO\), chúng ta sử dụng hàm arccos (hoặc \(\cos^{-1}\)) trên máy tính:

\[ \angle SMO = \arccos(0.63720) \]
\[ \angle SMO \approx 50.418^\circ \]

Bước 4: Làm tròn kết quả

Theo yêu cầu của đề bài, chúng ta cần làm tròn kết quả đến hàng phần chục.

\[ \angle SMO \approx 50.4^\circ \]

Kết luận:

Vậy, góc giữa mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp Kheops là khoảng 50.4 độ.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách xác định và tính toán góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp đều. Đây là một kiến thức rất quan trọng trong hình học không gian lớp 11. Hãy luyện tập thêm các bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé!