Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về giới hạn. Các em hãy mở Sách giáo khoa trang 137, chúng ta sẽ làm bài tập ví dụ về giới hạn một bên.

Yêu cầu của bài toán là tính giới hạn của biểu thức \( \frac{-2x+1}{x-1} \) khi \(x\) tiến tới 1 từ phía bên phải, ký hiệu là \(x \to 1^+\).

Chúng ta sẽ đi từng bước một nhé.

Bước 1: Phân tích biểu thức và giới hạn
Biểu thức của chúng ta là một phân thức: \( \frac{-2x+1}{x-1} \).
Khi \(x\) tiến tới 1, chúng ta cần xem xét cả tử số và mẫu số sẽ tiến tới đâu.

Bước 2: Tính giới hạn của tử số
Tử số là \( -2x+1 \).
Khi \(x\) tiến tới 1, ta thay \(x=1\) vào tử số: \( -2(1) + 1 = -2 + 1 = -1 \).
Vậy, giới hạn của tử số khi \(x \to 1\) là \( -1 \).
Ta có: \( \lim_{x \to 1} (-2x+1) = -1 \).

Bước 3: Tính giới hạn của mẫu số và xét dấu
Mẫu số là \( x-1 \).
Khi \(x\) tiến tới 1, ta thay \(x=1\) vào mẫu số: \( 1-1 = 0 \).
Vậy, giới hạn của mẫu số khi \(x \to 1\) là 0.
Ta có: \( \lim_{x \to 1} (x-1) = 0 \).

Bây giờ, điều quan trọng là chúng ta phải xét dấu của mẫu số khi \(x\) tiến tới 1 từ phía bên phải (\(x \to 1^+\)).
“\(x \to 1^+\)” có nghĩa là \(x\) lấy các giá trị lớn hơn 1 và tiến dần về 1. Ví dụ: \(x = 1.1, x = 1.01, x = 1.001, \dots\).
Khi \(x > 1\), thì \(x-1\) sẽ là một số dương.
Ví dụ: Nếu \(x=1.1\), \(x-1 = 1.1 – 1 = 0.1 > 0\).
Nếu \(x=1.01\), \(x-1 = 1.01 – 1 = 0.01 > 0\).
Do đó, khi \(x \to 1^+\), mẫu số \(x-1\) tiến tới 0 và luôn nhận giá trị dương. Chúng ta có thể viết \( (x-1) \to 0^+ \).

Bước 4: Kết hợp tử số và mẫu số để xác định giới hạn
Chúng ta có:
– Tử số tiến tới -1 (một số âm).
– Mẫu số tiến tới 0 và luôn dương (\(0^+\)).

Khi chia một số âm cho một số dương rất nhỏ, kết quả sẽ là một số âm rất lớn. Nói cách khác, giới hạn sẽ tiến tới âm vô cùng.

Ta có dạng vô định \( \frac{-1}{0} \). Trong trường hợp này, khi mẫu số tiến về 0 và có dấu xác định, giới hạn sẽ là \( \pm \infty \).
Cụ thể, ta có:
\( \lim_{x \to 1^+} \frac{-2x+1}{x-1} = \frac{-1}{0^+} \)

Khi tử số là một số âm và mẫu số tiến tới 0 từ phía dương, giới hạn là âm vô cùng.

Kết luận:
Vậy, \( \lim_{x \to 1^+} \frac{-2x+1}{x-1} = -\infty \).

Các em thấy không, việc xét dấu của mẫu số khi nó tiến tới 0 là vô cùng quan trọng trong bài toán giới hạn một bên. Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để nắm vững hơn nhé!