Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán giới hạn rất thú vị thuộc chương trình Toán lớp 11. Các em chú ý quan sát nhé!

Bài tập của chúng ta là tính giới hạn sau:

Lim (căn bậc 3 của n^3-2n^2 )-n khi n tiến ra dương vô cùng.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, sử dụng các kiến thức đã học trong sách giáo khoa.

Bước 1: Nhận dạng dạng vô định

Trước hết, chúng ta hãy thử thay “n” bằng một số rất lớn (tiến ra dương vô cùng) vào biểu thức.

Ta thấy rằng:
– \(\sqrt[3]{n^3 – 2n^2}\) sẽ tiến ra dương vô cùng khi n tiến ra dương vô cùng (vì \(n^3\) là số hạng chiếm ưu thế).
– \(n\) cũng tiến ra dương vô cùng.

Như vậy, chúng ta rơi vào dạng vô định: “vô cùng trừ vô cùng” (\(\infty – \infty\)). Đối với dạng này, chúng ta cần biến đổi biểu thức để đưa về các dạng vô định quen thuộc hơn như \(\frac{\infty}{\infty}\) hoặc \(\frac{0}{0}\).

Bước 2: Biến đổi biểu thức bằng phương pháp nhân liên hợp

Đối với biểu thức chứa căn bậc ba, phương pháp nhân liên hợp là một công cụ rất hữu ích. Chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức:
\[a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)\]
Từ đó, ta suy ra:
\[a – b = \frac{a^3 – b^3}{a^2 + ab + b^2}\]

Ở đây, ta coi \(a = \sqrt[3]{n^3 – 2n^2}\) và \(b = n\).

Ta sẽ nhân cả tử và mẫu của biểu thức giới hạn với:
\[(\sqrt[3]{n^3 – 2n^2})^2 + \sqrt[3]{n^3 – 2n^2} \cdot n + n^2\]

Biểu thức giới hạn ban đầu là: \(\sqrt[3]{n^3 – 2n^2} – n\)

Nhân liên hợp, ta được:
\[\sqrt[3]{n^3 – 2n^2} – n = \frac{(\sqrt[3]{n^3 – 2n^2})^3 – n^3}{(\sqrt[3]{n^3 – 2n^2})^2 + \sqrt[3]{n^3 – 2n^2} \cdot n + n^2}\]

Ta tiếp tục khai triển biểu thức ở tử số:
\[(\sqrt[3]{n^3 – 2n^2})^3 – n^3 = (n^3 – 2n^2) – n^3 = -2n^2\]

Vậy, biểu thức giới hạn trở thành:
\[\frac{-2n^2}{(\sqrt[3]{n^3 – 2n^2})^2 + \sqrt[3]{n^3 – 2n^2} \cdot n + n^2}\]

Bước 3: Rút gọn và đưa về dạng quen thuộc

Bây giờ, chúng ta sẽ tập trung vào mẫu số. Để làm gọn, chúng ta sẽ chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của \(n\) trong biểu thức.

Trong mẫu số, số hạng có lũy thừa cao nhất là \(n^2\). Tuy nhiên, chúng ta cần lưu ý khi rút \(n\) ra khỏi căn bậc ba.

Xét từng số hạng ở mẫu:
– \((\sqrt[3]{n^3 – 2n^2})^2 = (\sqrt[3]{n^2(n – 2)})^2 = (n^{2/3}\sqrt[3]{n – 2})^2 = n^{4/3}(n – 2)^{2/3}\). Để làm gọn với \(n^2\) ở tử, ta nên rút \(n\) ra khỏi căn bậc ba.
Ta có: \(\sqrt[3]{n^3 – 2n^2} = \sqrt[3]{n^3(1 – \frac{2}{n})} = n \sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}}\).

Thay vào mẫu số:
\[(\sqrt[3]{n^3 – 2n^2})^2 + \sqrt[3]{n^3 – 2n^2} \cdot n + n^2\]
\[= (n \sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}})^2 + (n \sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}}) \cdot n + n^2\]
\[= n^2 (\sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}})^2 + n^2 \sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}} + n^2\]
\[= n^2 \left[ \left(\sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}}\right)^2 + \sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}} + 1 \right]\]

Vậy, biểu thức giới hạn là:
\[\frac{-2n^2}{n^2 \left[ \left(\sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}}\right)^2 + \sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}} + 1 \right]}\]

Ta có thể rút gọn \(n^2\) ở tử và mẫu:
\[\frac{-2}{\left(\sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}}\right)^2 + \sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}} + 1}\]

Bước 4: Tính giới hạn

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giới hạn của biểu thức mới này khi \(n\) tiến ra dương vô cùng.

Ta xét giới hạn của các thành phần khi \(n \to +\infty\):
– \(\frac{2}{n} \to 0\)
– \(\sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}} \to \sqrt[3]{1 – 0} = \sqrt[3]{1} = 1\)
– \(\left(\sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}}\right)^2 \to 1^2 = 1\)

Do đó, giới hạn của mẫu số là: \(1 + 1 + 1 = 3\).

Vậy, giới hạn của cả biểu thức là:
\[\lim_{n \to +\infty} \frac{-2}{\left(\sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}}\right)^2 + \sqrt[3]{1 – \frac{2}{n}} + 1} = \frac{-2}{1 + 1 + 1} = \frac{-2}{3}\]

Kết luận:

Vậy, \(\lim_{n \to +\infty} (\sqrt[3]{n^3 – 2n^2} – n) = -\frac{2}{3}\).

Các em thấy đó, bằng việc áp dụng phương pháp nhân liên hợp và rút gọn một cách khéo léo, chúng ta đã giải quyết được bài toán giới hạn tưởng chừng phức tạp này. Các em hãy xem lại các bước và thực hành thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé!