Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rất thú vị về tối ưu hóa trong xây dựng. Bài toán này đòi hỏi chúng ta vận dụng kiến thức về thể tích hình hộp chữ nhật và kĩ năng tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Nào, chúng ta bắt đầu nhé!

Bước 1: Phân tích đề bài và xác định các đại lượng cần tìm

Đề bài cho chúng ta biết:
– Hố ga là hình hộp chữ nhật không có nắp.
– Thể tích của hố ga là \(V = 3200 \text{ cm}^3\).
– Tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của đáy bằng 2.

Chúng ta cần xác định:
– Diện tích đáy hố ga sao cho việc xây dựng tiết kiệm nguyên liệu nhất.

Để tiết kiệm nguyên liệu nhất, chúng ta cần tối thiểu hóa diện tích xung quanh của hố ga (vì không có nắp).

Bước 2: Đặt biến và thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng

Gọi các kích thước của hố ga như sau:
– Chiều dài đáy là \(x\) (cm)
– Chiều rộng đáy là \(y\) (cm)
– Chiều cao là \(h\) (cm)

Theo đề bài, thể tích của hình hộp chữ nhật là:
\(V = x \cdot y \cdot h\)
Ta có \(V = 3200 \text{ cm}^3\), nên:
\(x \cdot y \cdot h = 3200\) (1)

Đề bài cho tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của đáy bằng 2:
\(\frac{h}{y} = 2\)
Suy ra:
\(h = 2y\) (2)

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng phương trình (2) để thay thế \(h\) trong phương trình (1):
\(x \cdot y \cdot (2y) = 3200\)
\(2xy^2 = 3200\)
\(xy^2 = 1600\)

Từ đây, chúng ta có thể biểu diễn một biến theo biến còn lại. Để dễ dàng hơn cho việc tính toán diện tích sau này, chúng ta sẽ biểu diễn \(x\) theo \(y\):
\(x = \frac{1600}{y^2}\) (3)

Bước 3: Xác định hàm số cần tối thiểu hóa

Diện tích cần tiết kiệm nguyên liệu nhất chính là diện tích xung quanh của hố ga không có nắp. Diện tích này bao gồm diện tích đáy và diện tích ba mặt bên.

Diện tích đáy là: \(A_{đáy} = x \cdot y\)
Diện tích ba mặt bên là: \(A_{lề} = x \cdot h + 2 \cdot y \cdot h\)

Tổng diện tích cần tính là:
\(A = A_{đáy} + A_{lề} = xy + xh + 2yh\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế \(x\) và \(h\) bằng các biểu thức theo \(y\) để có một hàm số chỉ phụ thuộc vào \(y\).
Thay \(x = \frac{1600}{y^2}\) và \(h = 2y\) vào biểu thức \(A\):

\(A(y) = \left(\frac{1600}{y^2}\right) \cdot y + \left(\frac{1600}{y^2}\right) \cdot (2y) + 2 \cdot y \cdot (2y)\)
\(A(y) = \frac{1600}{y} + \frac{3200}{y} + 4y^2\)
\(A(y) = \frac{4800}{y} + 4y^2\)

Chúng ta cần tìm giá trị của \(y\) để \(A(y)\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Điều kiện cho các biến là \(x > 0\), \(y > 0\), \(h > 0\). Từ \(x = \frac{1600}{y^2}\) và \(h = 2y\), nếu \(y > 0\) thì \(x\) và \(h\) đều dương. Do đó, ta chỉ cần xét \(y > 0\).

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(A(y) = \frac{4800}{y} + 4y^2\), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm.

Tính đạo hàm của \(A(y)\) theo \(y\):
\(A'(y) = \frac{d}{dy}\left(4800y^{-1} + 4y^2\right)\)
\(A'(y) = 4800 \cdot (-1)y^{-2} + 4 \cdot (2y)\)
\(A'(y) = -\frac{4800}{y^2} + 8y\)

Để tìm điểm cực trị, ta cho \(A'(y) = 0\):
\(-\frac{4800}{y^2} + 8y = 0\)
\(8y = \frac{4800}{y^2}\)
\(8y^3 = 4800\)
\(y^3 = \frac{4800}{8}\)
\(y^3 = 600\)
\(y = \sqrt[3]{600}\) (cm)

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem giá trị này có phải là điểm cực tiểu hay không bằng cách xét dấu của đạo hàm bậc hai hoặc xét dấu của đạo hàm bậc nhất.

Xét dấu của \(A'(y) = 8y – \frac{4800}{y^2}\) trên khoảng \(y > 0\).
Nếu \(0 < y < \sqrt[3]{600}\), ví dụ \(y=1\), thì \(A'(1) = 8 - 4800 < 0\). Vậy hàm số nghịch biến. Nếu \(y > \sqrt[3]{600}\), ví dụ \(y=10\), thì \(A'(10) = 80 – \frac{4800}{100} = 80 – 48 = 32 > 0\). Vậy hàm số đồng biến.

Do hàm số \(A(y)\) nghịch biến trên \((0, \sqrt[3]{600})\) và đồng biến trên \((\sqrt[3]{600}, +\infty)\), nên \(y = \sqrt[3]{600}\) là điểm cực tiểu, hay giá trị nhỏ nhất của hàm số \(A(y)\).

Bước 5: Xác định diện tích đáy hố ga

Chúng ta đã tìm được giá trị của chiều rộng đáy là \(y = \sqrt[3]{600}\) cm để diện tích hố ga tiết kiệm nguyên liệu nhất.
Đề bài yêu cầu xác định diện tích đáy hố ga. Diện tích đáy là \(A_{đáy} = x \cdot y\).

Từ phương trình (3), ta có \(x = \frac{1600}{y^2}\).
Do đó, diện tích đáy là:
\(A_{đáy} = \left(\frac{1600}{y^2}\right) \cdot y = \frac{1600}{y}\)

Thay giá trị \(y = \sqrt[3]{600}\) vào biểu thức tính diện tích đáy:
\(A_{đáy} = \frac{1600}{\sqrt[3]{600}}\)

Chúng ta có thể tính toán thêm để làm gọn biểu thức này (tuy nhiên, biểu thức này đã là đáp án chính xác).
\(A_{đáy} = \frac{1600}{600^{1/3}}\)
\(A_{đáy} = \frac{1600 \cdot 600^{2/3}}{600} = \frac{16}{6} \cdot 600^{2/3} = \frac{8}{3} \cdot 600^{2/3}\)

Tuy nhiên, nếu chỉ cần xác định diện tích đáy, ta có thể tính trực tiếp giá trị số.
\(y = \sqrt[3]{600} \approx 8.434\) cm
\(x = \frac{1600}{y^2} = \frac{1600}{(\sqrt[3]{600})^2} = \frac{1600}{600^{2/3}} \approx \frac{1600}{71.13} \approx 22.49\) cm
\(A_{đáy} = x \cdot y \approx 22.49 \cdot 8.434 \approx 189.79 \text{ cm}^2\)

Hoặc ta dùng trực tiếp công thức \(A_{đáy} = \frac{1600}{y}\):
\(A_{đáy} = \frac{1600}{\sqrt[3]{600}}\) \(cm^2\)

Kết luận:

Để xây dựng hố ga tiết kiệm nguyên liệu nhất, diện tích đáy hố ga cần có giá trị là \(\frac{1600}{\sqrt[3]{600}}\) \(cm^2\).

Các em thân mến, bài toán này cho chúng ta thấy rằng việc áp dụng các công cụ toán học như đạo hàm vào thực tế có thể giúp chúng ta giải quyết các vấn đề tối ưu hóa hiệu quả. Các em hãy cố gắng luyện tập thêm nhiều dạng bài tương tự nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.