Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thực tế về chuyển động trên dòng nước, một dạng bài quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9. Thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài toán này một cách chi tiết, bám sát theo Sách giáo khoa nhé.

Phân tích đề bài và đặt ẩn

Đầu tiên, chúng ta cần đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu. Đề bài cho chúng ta biết về hai hành trình của ca nô trên cùng một quãng sông, với các thông tin về quãng đường xuôi dòng, quãng đường ngược dòng và tổng thời gian. Yêu cầu của bài toán là tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước.

Để giải bài toán này, chúng ta cần đặt ẩn cho các đại lượng chưa biết.
Gọi:
– Vận tốc riêng của ca nô là \(v_{ca nô}\) (km/h). Điều kiện: \(v_{ca nô} > 0\).
– Vận tốc dòng nước là \(v_{nước}\) (km/h). Điều kiện: \(v_{nước} > 0\).

Khi ca nô xuôi dòng, vận tốc của nó sẽ bằng tổng vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước.
Vận tốc xuôi dòng: \(v_{xuôi} = v_{ca nô} + v_{nước}\) (km/h).

Khi ca nô ngược dòng, vận tốc của nó sẽ bằng hiệu vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước (vì vận tốc dòng nước cản trở chuyển động của ca nô).
Vận tốc ngược dòng: \(v_{ngược} = v_{ca nô} – v_{nước}\) (km/h). Điều kiện: \(v_{ca nô} > v_{nước}\) để ca nô có thể di chuyển ngược dòng.

Thiết lập phương trình dựa trên các thông tin đã cho

Chúng ta có công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian là: Thời gian = Quãng đường / Vận tốc.

Bài toán cho chúng ta hai trường hợp. Chúng ta sẽ lần lượt phân tích từng trường hợp để lập phương trình.

Trường hợp 1:
Ca nô xuôi dòng quãng sông dài 12km rồi ngược dòng quãng sông đó (12km) mất tổng cộng 2 giờ 30 phút.
Trước hết, chúng ta cần đổi 2 giờ 30 phút ra giờ.
2 giờ 30 phút = 2 giờ + 30/60 giờ = 2 giờ + 0.5 giờ = 2.5 giờ.

Thời gian ca nô đi xuôi dòng 12km là: \(t_{xuôi1} = \frac{12}{v_{ca nô} + v_{nước}}\) (giờ).
Thời gian ca nô đi ngược dòng 12km là: \(t_{ngược1} = \frac{12}{v_{ca nô} – v_{nước}}\) (giờ).

Tổng thời gian của trường hợp 1 là: \(t_{xuôi1} + t_{ngược1} = 2.5\) giờ.
Ta có phương trình thứ nhất:
\[ \frac{12}{v_{ca nô} + v_{nước}} + \frac{12}{v_{ca nô} – v_{nước}} = 2.5 \]

Trường hợp 2:
Ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì hết 1 giờ 20 phút.
Đổi 1 giờ 20 phút ra giờ.
1 giờ 20 phút = 1 giờ + 20/60 giờ = 1 giờ + 1/3 giờ = 4/3 giờ.

Thời gian ca nô đi xuôi dòng 4km là: \(t_{xuôi2} = \frac{4}{v_{ca nô} + v_{nước}}\) (giờ).
Thời gian ca nô đi ngược dòng 8km là: \(t_{ngược2} = \frac{8}{v_{ca nô} – v_{nước}}\) (giờ).

Tổng thời gian của trường hợp 2 là: \(t_{xuôi2} + t_{ngược2} = \frac{4}{3}\) giờ.
Ta có phương trình thứ hai:
\[ \frac{4}{v_{ca nô} + v_{nước}} + \frac{8}{v_{ca nô} – v_{nước}} = \frac{4}{3} \]

Giải hệ phương trình

Bây giờ, chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn là \(v_{ca nô}\) và \(v_{nước}\).
\[ \begin{cases} \frac{12}{v_{ca nô} + v_{nước}} + \frac{12}{v_{ca nô} – v_{nước}} = 2.5 \\ \frac{4}{v_{ca nô} + v_{nước}} + \frac{8}{v_{ca nô} – v_{nước}} = \frac{4}{3} \end{cases} \]

Để hệ phương trình này dễ giải hơn, chúng ta có thể đặt ẩn phụ.
Đặt \(a = \frac{1}{v_{ca nô} + v_{nước}}\) và \(b = \frac{1}{v_{ca nô} – v_{nước}}\).
Lưu ý rằng vì \(v_{ca nô} + v_{nước} > 0\) và \(v_{ca nô} – v_{nước} > 0\), nên \(a > 0\) và \(b > 0\).

Hệ phương trình trở thành:
\[ \begin{cases} 12a + 12b = 2.5 \\ 4a + 8b = \frac{4}{3} \end{cases} \]

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Thầy sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số để làm cho nó gọn gàng hơn.

Nhân phương trình thứ hai với 3, ta được:
\(3 \times (4a + 8b) = 3 \times \frac{4}{3}\)
\(12a + 24b = 4\)

Bây giờ, ta có hệ mới:
\[ \begin{cases} 12a + 12b = 2.5 \\ 12a + 24b = 4 \end{cases} \]

Lấy phương trình (2′) trừ đi phương trình (1′):
\((12a + 24b) – (12a + 12b) = 4 – 2.5\)
\(12b = 1.5\)
\(b = \frac{1.5}{12} = \frac{15}{120} = \frac{1}{8}\)

Thay \(b = \frac{1}{8}\) vào phương trình \(12a + 12b = 2.5\):
\(12a + 12 \times \frac{1}{8} = 2.5\)
\(12a + \frac{12}{8} = 2.5\)
\(12a + \frac{3}{2} = 2.5\)
\(12a = 2.5 – 1.5\)
\(12a = 1\)
\(a = \frac{1}{12}\)

Tìm lại các ẩn ban đầu

Bây giờ chúng ta đã tìm được giá trị của \(a\) và \(b\). Chúng ta sẽ quay trở lại với các ẩn ban đầu.
Ta có:
\(a = \frac{1}{v_{ca nô} + v_{nước}} = \frac{1}{12}\)
Suy ra: \(v_{ca nô} + v_{nước} = 12\) (1)

\(b = \frac{1}{v_{ca nô} – v_{nước}} = \frac{1}{8}\)
Suy ra: \(v_{ca nô} – v_{nước} = 8\) (2)

Bây giờ, chúng ta có một hệ hai phương trình đơn giản với hai ẩn \(v_{ca nô}\) và \(v_{nước}\):
\[ \begin{cases} v_{ca nô} + v_{nước} = 12 \\ v_{ca nô} – v_{nước} = 8 \end{cases} \]

Cộng hai phương trình (1) và (2) lại với nhau:
\((v_{ca nô} + v_{nước}) + (v_{ca nô} – v_{nước}) = 12 + 8\)
\(2v_{ca nô} = 20\)
\(v_{ca nô} = \frac{20}{2} = 10\) (km/h)

Thay \(v_{ca nô} = 10\) vào phương trình (1):
\(10 + v_{nước} = 12\)
\(v_{nước} = 12 – 10 = 2\) (km/h)

Kiểm tra lại kết quả

Để đảm bảo kết quả của chúng ta là chính xác, chúng ta sẽ thay các giá trị \(v_{ca nô} = 10\) km/h và \(v_{nước} = 2\) km/h vào đề bài để kiểm tra.

Vận tốc xuôi dòng: \(v_{xuôi} = 10 + 2 = 12\) km/h.
Vận tốc ngược dòng: \(v_{ngược} = 10 – 2 = 8\) km/h.

Trường hợp 1: Xuôi dòng 12km, ngược dòng 12km, tổng thời gian 2.5 giờ.
Thời gian xuôi dòng: \(\frac{12}{12} = 1\) giờ.
Thời gian ngược dòng: \(\frac{12}{8} = 1.5\) giờ.
Tổng thời gian: \(1 + 1.5 = 2.5\) giờ. (Khớp với đề bài)

Trường hợp 2: Xuôi dòng 4km, ngược dòng 8km, tổng thời gian 1/3 giờ.
Thời gian xuôi dòng: \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) giờ.
Thời gian ngược dòng: \(\frac{8}{8} = 1\) giờ.
Tổng thời gian: \(\frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}\) giờ. (Khớp với đề bài)

Kết luận

Vậy, vận tốc riêng của ca nô là 10 km/h và vận tốc dòng nước là 2 km/h.

Qua bài tập này, các em thấy rằng việc phân tích đề bài, đặt ẩn hợp lý, thiết lập và giải hệ phương trình là những kỹ năng quan trọng để giải quyết các bài toán chuyển động. Các em hãy ôn tập lại các bước giải để có thể tự tin hơn với dạng bài này nhé. Chúc các em học tốt!