Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập về dao động điều hòa rất hay và đầy đủ các kiến thức cơ bản. Các em hãy mở sách giáo khoa Vật lý lớp 10 trang… và chúng ta bắt đầu nhé!

Trước tiên, chúng ta cùng tóm tắt lại đề bài đã cho:
Khối lượng chất điểm: m = 100g = 0,1 kg (Tuy nhiên, trong bài toán này, khối lượng m không ảnh hưởng trực tiếp đến phương trình dao động và các đại lượng khác, nhưng chúng ta vẫn nên đổi về đơn vị chuẩn).
Biên độ dao động: A = 5 cm = 0,05 m.
Tần số dao động: f = 5 Hz.

Chúng ta sẽ đi vào từng câu hỏi một.

a, Viết phương trình dao động của chất điểm. Chọn gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng. Biết rằng tại thời điểm ban đầu vận tốc của chất điểm V0 = 0 cm/s.

Để viết phương trình dao động, chúng ta cần xác định dạng tổng quát của phương trình dao động điều hòa. Với gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng, phương trình có dạng:
x = A cos(\(\omega\)t + \(\phi\))

Trong đó:
x là li độ của chất điểm tại thời điểm t.
A là biên độ dao động.
\(\omega\) là tần số góc của dao động.
t là thời gian.
\(\phi\) là pha ban đầu của dao động.

Chúng ta đã có biên độ A = 5 cm.
Tần số góc \(\omega\) có thể được tính từ tần số f theo công thức:
\(\omega\) = 2\(\pi\)f
Thay f = 5 Hz vào, ta có:
\(\omega\) = 2\(\pi\)(5) = 10\(\pi\) rad/s.

Bây giờ, chúng ta cần tìm pha ban đầu \(\phi\). Đề bài cho biết tại thời điểm ban đầu (t = 0), vận tốc của chất điểm là \(v_0 = 0\) cm/s.
Vận tốc của chất điểm được tính bằng đạo hàm của li độ theo thời gian:
v = x’ = -A\(\omega\) sin(\(\omega\)t + \(\phi\))

Tại t = 0, \(v_0 = 0\), nên ta có:
0 = -A\(\omega\) sin(\(\omega\)(0) + \(\phi\))
0 = -A\(\omega\) sin(\(\phi\))

Vì A \(\neq\) 0 và \(\omega\) \(\neq\) 0, nên ta suy ra:
sin(\(\phi\)) = 0

Điều này có nghĩa là \(\phi\) có thể bằng 0 hoặc \(\pi\).
Bây giờ chúng ta xem xét vị trí của chất điểm tại t = 0.
Nếu \(\phi = 0\), phương trình li độ là x = A cos(\(\omega\)t). Tại t = 0, x = A cos(0) = A.
Nếu \(\phi = \pi\), phương trình li độ là x = A cos(\(\omega\)t + \(\pi\)). Tại t = 0, x = A cos(\(\pi\)) = -A.

Khi vận tốc bằng 0, chất điểm đang ở vị trí biên.
Nếu \(v_0 = 0\) và chất điểm ở biên dương (x = A) thì \(\phi = 0\).
Nếu \(v_0 = 0\) và chất điểm ở biên âm (x = -A) thì \(\phi = \pi\).

Đề bài không cho biết vị trí ban đầu của chất điểm, nhưng nếu vận tốc bằng 0 tại t=0 thì chất điểm đang ở một trong hai vị trí biên. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, nếu không nói rõ, ta mặc định vật xuất phát từ vị trí có pha bằng 0 hoặc pha dương, tương ứng với vị trí biên dương hoặc đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Nhưng ở đây vận tốc bằng 0, nó phải ở biên.

Trong trường hợp \(v_0 = 0\) tại t=0, nếu ta xét phương trình vận tốc: \(v = -A\omega \sin(\omega t + \phi)\).
Khi t=0, \(v_0 = -A\omega \sin(\phi) = 0\).
Suy ra \(\sin(\phi) = 0\), vậy \(\phi = 0\) hoặc \(\phi = \pi\).
Nếu \(\phi = 0\), thì \(x(0) = A \cos(0) = A\). Đây là biên dương.
Nếu \(\phi = \pi\), thì \(x(0) = A \cos(\pi) = -A\). Đây là biên âm.

Thông thường, khi đề bài không nói rõ vị trí ban đầu mà chỉ cho vận tốc bằng 0, ta có thể chọn một trong hai giá trị pha ban đầu. Tuy nhiên, để phương trình dao động có ý nghĩa vật lý và tuân theo quy ước thông thường, ta hay chọn pha ban đầu sao cho vật bắt đầu chuyển động từ vị trí biên dương hoặc đang có xu hướng đi về vị trí cân bằng từ biên dương. Trong trường hợp \(v_0 = 0\), chất điểm đang ở biên. Nếu ta chọn \(\phi=0\), thì \(x(0)=A\), nghĩa là chất điểm ở biên dương.

Do đó, ta chọn pha ban đầu \(\phi = 0\).

Vậy, phương trình dao động của chất điểm là:
x = 5 cos(10\(\pi\)t) cm.
Hoặc đổi sang mét:
x = 0,05 cos(10\(\pi\)t) m.
Chúng ta sẽ sử dụng đơn vị cm cho các phần sau nếu đề bài cho đơn vị cm.

b, Xác định vị trí, vận tốc, gia tốc của chất điểm và lực gây ra dao động ở thời điểm t = 0,5s. Ở thời điểm đó vật đang chuyển động theo chiều nào, tính chất chuyển động là nhanh dần hay chậm dần?

Chúng ta đã có phương trình dao động: x = 5 cos(10\(\pi\)t) cm.
Tần số góc: \(\omega\) = 10\(\pi\) rad/s.
Biên độ: A = 5 cm.

Tại thời điểm t = 0,5s:

* Vị trí (x):
Thay t = 0,5s vào phương trình li độ:
x = 5 cos(10\(\pi\) \(\times\) 0,5)
x = 5 cos(5\(\pi\))
Vì cos(5\(\pi\)) = cos(\(\pi\) + 4\(\pi\)) = cos(\(\pi\)) = -1, nên:
x = 5 \(\times\) (-1) = -5 cm.
Vậy, ở thời điểm t = 0,5s, chất điểm đang ở vị trí -5 cm. Đây chính là biên âm.

* Vận tốc (v):
Phương trình vận tốc là: v = -A\(\omega\) sin(\(\omega\)t + \(\phi\))
v = -5 \(\times\) 10\(\pi\) sin(10\(\pi\)t)
v = -50\(\pi\) sin(10\(\pi\)t) cm/s.
Thay t = 0,5s vào:
v = -50\(\pi\) sin(10\(\pi\) \(\times\) 0,5)
v = -50\(\pi\) sin(5\(\pi\))
Vì sin(5\(\pi\)) = sin(\(\pi\) + 4\(\pi\)) = sin(\(\pi\)) = 0, nên:
v = -50\(\pi\) \(\times\) 0 = 0 cm/s.
Vậy, ở thời điểm t = 0,5s, vận tốc của chất điểm là 0 cm/s. Điều này khớp với việc chất điểm đang ở biên.

* Gia tốc (a):
Gia tốc trong dao động điều hòa có dạng: a = -\(\omega\)^2 x
a = -(10\(\pi\))^2 \(\times\) x
a = -100\(\pi\)^2 x.
Thay x = -5 cm vào:
a = -100\(\pi\)^2 \(\times\) (-5)
a = 500\(\pi\)^2 cm/s^2.
Hoặc chúng ta có thể tính đạo hàm của vận tốc:
a = v’ = (-50\(\pi\) sin(10\(\pi\)t))’
a = -50\(\pi\) \(\times\) 10\(\pi\) cos(10\(\pi\)t)
a = -500\(\pi\)^2 cos(10\(\pi\)t) cm/s^2.
Thay t = 0,5s vào:
a = -500\(\pi\)^2 cos(10\(\pi\) \(\times\) 0,5)
a = -500\(\pi\)^2 cos(5\(\pi\))
a = -500\(\pi\)^2 \(\times\) (-1) = 500\(\pi\)^2 cm/s^2.
Vậy, ở thời điểm t = 0,5s, gia tốc của chất điểm là 500\(\pi\)^2 cm/s^2.

* Lực gây ra dao động (F):
Lực gây ra dao động điều hòa được gọi là lực phục hồi, và nó được tính bằng định luật II Newton: F = ma.
m = 100g = 0,1 kg.
Để tính lực theo đơn vị Newton, ta cần đổi các đại lượng về đơn vị chuẩn (mét, kilogam, giây).
A = 0,05 m. \(\omega\) = 10\(\pi\) rad/s.
Phương trình li độ: x = 0,05 cos(10\(\pi\)t) m.
Tại t = 0,5s, x = 0,05 cos(5\(\pi\)) = 0,05 \(\times\) (-1) = -0,05 m.
Gia tốc: a = -\(\omega\)^2 x = -(10\(\pi\))^2 \(\times\) (-0,05) = -100\(\pi\)^2 \(\times\) (-0,05) = 5\(\pi\)^2 m/s^2.
Lực phục hồi: F = ma = 0,1 \(\times\) 5\(\pi\)^2 = 0,5\(\pi\)^2 N.

Nếu chúng ta tiếp tục sử dụng đơn vị cm và gam cho lực, thì F = ma.
m = 100g. a = 500\(\pi\)^2 cm/s^2.
F = 100g \(\times\) 500\(\pi\)^2 cm/s^2 = 50000\(\pi\)^2 g.cm/s^2.
Để đổi sang Newton, ta biết 1 N = 1 kg.m/s^2 = 1000g \(\times\) 100cm/s^2 = 100000 g.cm/s^2.
Vậy, F = 50000\(\pi\)^2 g.cm/s^2 = 0,5\(\pi\)^2 N.
Lưu ý: Lực phục hồi luôn hướng về vị trí cân bằng. Ở vị trí x = -5cm (biên âm), gia tốc hướng về phía dương, nên lực phục hồi cũng hướng về phía dương.

* Chuyển động theo chiều nào và tính chất chuyển động:
Tại thời điểm t = 0,5s, chúng ta đã tính được vận tốc v = 0 cm/s.
Khi vận tốc bằng 0, vật đang ở vị trí biên và nó sẽ bắt đầu đổi chiều chuyển động. Để xác định chiều chuyển động ngay sau thời điểm này hoặc ngay trước thời điểm này, chúng ta xem xét dấu của vận tốc tại thời điểm gần đó hoặc xét chuyển động của chất điểm trên vòng tròn lượng giác.
Ta có phương trình vận tốc: v = -50\(\pi\) sin(10\(\pi\)t).
Ngay sau t = 0,5s một chút, ví dụ t = 0,5001s:
v \(\approx\) -50\(\pi\) sin(10\(\pi\) \(\times\) 0,5001) = -50\(\pi\) sin(5\(\pi\) + 0,001\(\pi\)) \(\approx\) -50\(\pi\) \(\times\) (0,001\(\pi\)) < 0. Vận tốc âm có nghĩa là chất điểm đang chuyển động theo chiều âm. Vậy, ở thời điểm t = 0,5s, vật đang ở biên âm và chuẩn bị chuyển động theo chiều âm. * Tính chất chuyển động: nhanh dần hay chậm dần?
Để xác định tính chất chuyển động, chúng ta cần so sánh vận tốc và gia tốc.
Tại t = 0,5s, x = -5 cm (biên âm). Vận tốc v = 0 cm/s. Gia tốc a = 500\(\pi\)^2 cm/s^2 (hướng về vị trí cân bằng, tức là theo chiều dương).
Khi chất điểm ở biên âm và vận tốc bằng 0, nó bắt đầu chuyển động về vị trí cân bằng.
Nếu ta xét ngay sau thời điểm t = 0,5s, vật bắt đầu đi về vị trí cân bằng theo chiều dương (vì gia tốc hướng về O). Tuy nhiên, tại chính thời điểm t = 0,5s, vận tốc bằng 0.
Ngay sau thời điểm này, vật bắt đầu chuyển động về vị trí cân bằng. Khi vật đi từ biên âm về vị trí cân bằng, vận tốc của nó tăng dần về độ lớn (từ 0 đến cực đại). Trong khi đó, gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng.
Ở biên âm (x = -A), gia tốc có độ lớn cực đại và hướng về O. Khi vật chuyển động về O, li độ giảm, vận tốc tăng, gia tốc giảm dần về độ lớn.
Tại biên âm, gia tốc có độ lớn cực đại và hướng về vị trí cân bằng. Vận tốc bằng 0. Ngay sau đó, vật chuyển động về vị trí cân bằng. Trên thực tế, gia tốc vẫn đang hướng về vị trí cân bằng. Nếu ta xét chuyển động ngay sau thời điểm này, vật bắt đầu có vận tốc dương và đang hướng về vị trí cân bằng.
Để xác định nhanh dần hay chậm dần, ta xem xét góc giữa vận tốc và gia tốc.
Tại t = 0,5s, v = 0. Điều này làm cho việc xác định nhanh dần hay chậm dần ngay tại thời điểm này trở nên đặc biệt.
Tuy nhiên, nếu ta xét ngay sau thời điểm t=0.5s, vật bắt đầu chuyển động về vị trí cân bằng.
Tại x = -5cm, gia tốc hướng về O (chiều dương). Vận tốc tại thời điểm 0.5s là 0. Ngay sau đó, vật sẽ bắt đầu chuyển động theo chiều dương. Như vậy, vận tốc và gia tốc cùng chiều (cả hai đều hướng về phía dương). Khi vận tốc và gia tốc cùng chiều, chuyển động là nhanh dần.
Vậy, tính chất chuyển động là nhanh dần.

c, Ở những thời điểm nào thì chất điểm có li độ \(

Đề bài yêu cầu tìm thời điểm t để li độ x = .
Chúng ta có phương trình dao động: x = 5 cos(10\(\pi\)t) cm.
Thay x = vào phương trình:
= 5 cos(10\(\pi\)t)
cos(10\(\pi\)t) = / 5
cos(10\(\pi\)t) =

Chúng ta biết rằng cos(\(\pi\)/3) = 1/2 và cos(-\(\pi\)/3) = 1/2.
Do đó, ta có hai trường hợp cho pha (10\(\pi\)t):
Trường hợp 1: 10\(\pi\)t = \(\pi\)/3 + 2k\(\pi\) (với k là số nguyên)
Chia cả hai vế cho 10\(\pi\):
t = (\(\pi\)/3 + 2k\(\pi\)) / (10\(\pi\))
t = 1/30 + 2k/10
t = 1/30 + k/5 (s)

Trường hợp 2: 10\(\pi\)t = -\(\pi\)/3 + 2k\(\pi\) (với k là số nguyên)
Chia cả hai vế cho 10\(\pi\):
t = (-\(\pi\)/3 + 2k\(\pi\)) / (10\(\pi\))
t = -1/30 + 2k/10
t = -1/30 + k/5 (s)

Vì thời gian t phải không âm (t \(\ge\) 0), chúng ta sẽ chọn các giá trị nguyên của k sao cho t \(\ge\) 0.

Đối với Trường hợp 1: t = 1/30 + k/5
Nếu k = 0, t = 1/30 s.
Nếu k = 1, t = 1/30 + 1/5 = 1/30 + 6/30 = 7/30 s.
Nếu k = 2, t = 1/30 + 2/5 = 1/30 + 12/30 = 13/30 s.
…

Đối với Trường hợp 2: t = -1/30 + k/5
Nếu k = 1, t = -1/30 + 1/5 = -1/30 + 6/30 = 5/30 = 1/6 s.
Nếu k = 2, t = -1/30 + 2/5 = -1/30 + 12/30 = 11/30 s.
Nếu k = 3, t = -1/30 + 3/5 = -1/30 + 18/30 = 17/30 s.
…

Vậy, các thời điểm mà chất điểm có li độ \( là:
t = 1/30 + k/5 (s)
t = -1/30 + k/5 (s)
với k là số nguyên và đảm bảo t \(\ge\) 0.

Chúng ta có thể viết lại một cách tổng quát hơn bằng cách sử dụng chu kỳ T.
Chu kỳ dao động: T = 1/f = 1/5 s.
Tần số góc: \(\omega\) = 10\(\pi\) rad/s.
Nếu t = 1/30 + k/5 = 1/30 + k * 6/30 = (1 + 6k)/30.
Nếu t = -1/30 + k/5 = -1/30 + k * 6/30 = (-1 + 6k)/30.

Ta có thể kiểm tra lại.
Tại t = 1/30s: x = 5 cos(10\(\pi\) 1/30) = 5 cos(\(\pi\)/3) = 5 (1/2) = 2,5 cm. Đúng.
Tại t = 1/6s: x = 5 cos(10\(\pi\) 1/6) = 5 cos(5\(\pi\)/3) = 5 cos(-\(\pi\)/3) = 5 (1/2) = 2,5 cm. Đúng.

Vậy, các thời điểm là t = (1 + 6k)/30 s và t = (-1 + 6k)/30 s, với k là số nguyên và đảm bảo t \(\ge\) 0.
Chúng ta có thể liệt kê một vài giá trị đầu tiên: 1/30s, 1/6s, 7/30s, 11/30s, 13/30s, 17/30s, …

d, Tính tốc độ trung bình của chất điểm trong thời gian nó đi từ biên trái sang biên phải.

Biên trái là vị trí x = -A = -5 cm.
Biên phải là vị trí x = A = 5 cm.
Để đi từ biên trái sang biên phải, chất điểm thực hiện một nửa chu kỳ dao động.
Trong một chu kỳ dao động, chất điểm đi được quãng đường là 4A.
Thời gian để đi hết một chu kỳ là T.
Vậy, quãng đường đi được trong một chu kỳ là S_chu kỳ = 4A.
Vận tốc trung bình trong một chu kỳ là: \(v_{tb\_chu\_ky} = \frac{S_{chu\_ky}}{T} = \frac{4A}{T}\).

Tuy nhiên, ở đây chúng ta chỉ xét thời gian để đi từ biên trái sang biên phải.
Quãng đường chất điểm đi được khi đi từ biên trái (-A) sang biên phải (+A) là một nửa chu kỳ.
Trong khoảng thời gian này, chất điểm đi qua vị trí cân bằng một lần.
Quãng đường đi được khi đi từ biên trái sang biên phải là A + A = 2A.
Thời gian để đi từ biên trái sang biên phải là một nửa chu kỳ: T/2.

Ta đã có T = 1/f = 1/5 s.
Thời gian để đi từ biên trái sang biên phải là: T/2 = (1/5) / 2 = 1/10 s.
Quãng đường đi được là: S = 2A = 2 \(\times\) 5 cm = 10 cm.

Tốc độ trung bình được tính bằng quãng đường chia cho thời gian.
Tốc độ trung bình \(v_{tb} = \frac{S}{T/2}\)
\(v_{tb} = \frac{10 \text{ cm}}{1/10 \text{ s}}\)
\(v_{tb} = 10 \times 10 = 100\) cm/s.

Nếu đổi sang mét:
Quãng đường S = 2A = 2 \(\times\) 0,05 m = 0,1 m.
Thời gian T/2 = 1/10 s.
\(v_{tb} = \frac{0,1 \text{ m}}{1/10 \text{ s}} = 0,1 \times 10 = 1\) m/s.

Vậy, tốc độ trung bình của chất điểm trong thời gian nó đi từ biên trái sang biên phải là 100 cm/s hoặc 1 m/s.

Như vậy là chúng ta đã hoàn thành xong tất cả các câu hỏi của bài tập này. Các em về nhà xem lại bài và làm thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!