: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương trình x = Ac…
Đề bài cho chúng ta phương trình dao động của chất điểm theo phương thẳng đứng là:
x = Acos(ωt + π) cm
Và cho biết thời gian để chất điểm đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất là 0,5 s.
Chúng ta cần tìm li độ của chất điểm sau khoảng thời gian t = 0,625 s kể từ lúc bắt đầu dao động.
Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào từng bước giải bài toán này.
Bước 1: Phân tích phương trình dao động và mối liên hệ với vị trí thấp nhất, cao nhất.
Phương trình dao động có dạng x = Acos(ωt + π) cm.
Chúng ta biết rằng li độ x dao động trong khoảng từ -A đến +A.
Vị trí cao nhất của chất điểm tương ứng với li độ x = +A.
Vị trí thấp nhất của chất điểm tương ứng với li độ x = -A.
Để tìm thời điểm chất điểm đạt li độ x = +A, ta có:
Acos(ωt + π) = A
cos(ωt + π) = 1
ωt + π = 2kπ, với k là số nguyên.
ωt = 2kπ – π
ωt = (2k – 1)π
Để tìm thời điểm chất điểm đạt li độ x = -A, ta có:
Acos(ωt + π) = -A
cos(ωt + π) = -1
ωt + π = (2k + 1)π, với k là số nguyên.
ωt = (2k + 1)π – π
ωt = 2kπ
Bây giờ, ta xem xét thời gian đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất.
Giả sử tại thời điểm t1, chất điểm ở vị trí thấp nhất (x = -A), tức là ωt1 = 2k1π.
Tại thời điểm t2, chất điểm ở vị trí cao nhất (x = +A), tức là ωt2 = (2k2 – 1)π.
Thời gian đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất là Δt = t2 – t1 = 0,5 s.
Ta có:
ωt2 – ωt1 = (2k2 – 1)π – 2k1π
ω(t2 – t1) = (2k2 – 2k1 – 1)π
ω(Δt) = (2(k2 – k1) – 1)π
Mặt khác, ta biết chu kỳ T của dao động là thời gian để vật đi hết một vòng.
Khi vật đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất, vật đã đi được nửa vòng.
Do đó, thời gian này bằng một nửa chu kỳ:
Δt = T/2
Ta có: T/2 = 0,5 s
Suy ra chu kỳ T = 2 * 0,5 s = 1 s.
Bước 2: Tìm tần số góc ω.
Mối liên hệ giữa chu kỳ T và tần số góc ω là:
T = 2π/ω
Từ T = 1 s, ta có:
1 = 2π/ω
Suy ra ω = 2π rad/s.
Bước 3: Xác định trạng thái ban đầu của chất điểm.
Lúc bắt đầu dao động là khi t = 0.
Thay t = 0 vào phương trình dao động:
x(0) = Acos(ω*0 + π)
x(0) = Acos(π)
x(0) = A*(-1)
x(0) = -A
Vậy, lúc bắt đầu dao động (t = 0), chất điểm đang ở vị trí thấp nhất.
Bước 4: Tính li độ của chất điểm tại thời điểm t = 0,625 s.
Bây giờ chúng ta đã có ω = 2π rad/s.
Thay các giá trị vào phương trình dao động:
x = Acos(2πt + π) cm
Ta cần tìm li độ tại t = 0,625 s.
x(0,625) = Acos(2π * 0,625 + π)
x(0,625) = Acos(1,25π + π)
x(0,625) = Acos(2,25π)
Ta biết rằng hàm cosin có tính tuần hoàn với chu kỳ 2π. Do đó, ta có thể bớt đi các bội số nguyên của 2π:
2,25π = 2π + 0,25π
Vậy:
cos(2,25π) = cos(2π + 0,25π) = cos(0,25π)
Ta có: 0,25π = π/4
Do đó:
cos(0,25π) = cos(π/4) = sqrt(2)/2
Vậy li độ của chất điểm tại thời điểm t = 0,625 s là:
x(0,625) = A * (sqrt(2)/2)
x(0,625) = A*sqrt(2)/2 cm.
Kết luận:
Sau khoảng thời gian t = 0,625 s kể từ lúc bắt đầu dao động, chất điểm đang ở vị trí có li độ là A*sqrt(2)/2 cm.
Các em thấy đó, với phương pháp phân tích từng bước cẩn thận, chúng ta có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. Nhớ ôn tập kỹ các kiến thức về phương trình dao động, chu kỳ, tần số góc và cách xác định vị trí của chất điểm nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy. Chúc các em học tốt!
Đáp án:
\(x=\frac{A\sqrt{2}}{2}\)
Giải thích các bước giải:
Chất điểm đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất ⇔ Chất điểm đi từ biên dưới đến biên trên ⇔ Đi một nửa chu kì dao động ứng với khoảng thời gian \(T/2\)
Ta có: \(T/2=0,5s ⇔ T=1s\)
\(Δt=0,625s=\frac{5T}{8}\)
→ Vật quay một góc \(\frac{5.360^o}{8}=225^o=180^{o}+45^o\)
Từ phương trình dao động ta có \(\varphi=π \ rad\)
⇒ Sau khi quay \(225^o\) chất điểm đến pha \(π/4 \ rad\)
⇒ Chất điểm ở vị trí có li độ là \(x=\frac{A\sqrt{2}}{2}\)