Chào các em học sinh yêu quý của lớp 10! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai, ứng dụng vào thực tế. Chúng ta sẽ vận dụng kiến thức đã học về parabol để giải quyết bài toán về chiếc cổng hình dạng này nhé.

Bài toán yêu cầu chúng ta tính chiều cao của một chiếc cổng hình parabol có dạng phương trình là \(y= -1/2x^2\), biết chiều rộng của cổng vào là 6 m.

Trước hết, chúng ta cần hiểu rõ các yếu tố trong bài toán:

1. Hình dạng parabol: Phương trình \(y= -1/2x^2\) cho chúng ta biết mối quan hệ giữa chiều cao (trục y) và khoảng cách từ tâm cổng (trục x). Dấu âm của hệ số \( -1/2 \) cho thấy parabol này sẽ quay bề lõm xuống dưới. Trong bài toán này, chúng ta có thể hình dung trục y là trục đối xứng của cổng, và gốc tọa độ (0,0) nằm ở chân cổng hoặc điểm cao nhất tùy cách chúng ta đặt hệ trục. Tuy nhiên, với dạng \(y= -1/2x^2\), đỉnh của parabol trùng với gốc tọa độ (0,0). Điều này có nghĩa là điểm cao nhất của cổng sẽ ở vị trí (0,0) và cổng sẽ mở xuống dưới. Điều này có vẻ ngược với hình ảnh một chiếc cổng thông thường, nhưng chúng ta cứ bám sát vào phương trình đề bài cho nhé. Cô sẽ giả định rằng trục tung (Oy) là trục đối xứng của cổng và gốc tọa độ (0,0) là điểm cao nhất của cổng.

2. Chiều rộng của cổng vào là 6 m: Chiều rộng này là khoảng cách ngang giữa hai chân cổng. Nếu đỉnh của cổng là điểm cao nhất tại (0,0) và trục Oy là trục đối xứng, thì hai chân cổng sẽ nằm ở hai bên trục Oy, cách đều trục Oy.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào các bước giải chi tiết:

Bước 1: Xác định vị trí của hai chân cổng trên hệ trục tọa độ.

Vì chiều rộng của cổng là 6 m và trục Oy là trục đối xứng, nên mỗi chân cổng sẽ cách trục Oy một khoảng bằng một nửa chiều rộng.
Khoảng cách từ trục Oy đến mỗi chân cổng là: \( 6 \text{ m} / 2 = 3 \text{ m} \).

Do cổng mở xuống dưới và đỉnh ở (0,0), hai chân cổng sẽ có tọa độ x là 3 và -3.
Tức là, tọa độ x của hai chân cổng là \(x_1 = -3\) và \(x_2 = 3\).

Bước 2: Tìm chiều cao của cổng tại hai chân cổng.

Chiều cao của cổng tại hai chân cổng chính là giá trị của y tương ứng với \(x_1 = -3\) và \(x_2 = 3\). Chúng ta sẽ thay các giá trị x này vào phương trình parabol đã cho: \(y= -1/2x^2\).

* Với \(x_1 = -3\):
\(y_1 = -1/2 * (-3)^2\)
\(y_1 = -1/2 * 9\)
\(y_1 = -9/2\)
\(y_1 = -4.5\)

* Với \(x_2 = 3\):
\(y_2 = -1/2 * (3)^2\)
\(y_2 = -1/2 * 9\)
\(y_2 = -9/2\)
\(y_2 = -4.5\)

Giá trị y âm (-4.5) cho thấy hai chân cổng nằm ở phía dưới trục hoành (nếu chúng ta coi trục Ox là mặt đất và gốc tọa độ là điểm cao nhất của cổng). Trong bối cảnh thực tế của một chiếc cổng, chúng ta thường hình dung phần cao nhất của cổng là đỉnh, và chiều cao được đo từ mặt đất lên đến đỉnh. Tuy nhiên, với phương trình đã cho, đỉnh là điểm cao nhất và nằm ở (0,0). Chiều cao của cổng trong trường hợp này sẽ là giá trị tuyệt đối của tung độ tại hai chân cổng, đo từ điểm thấp nhất lên điểm cao nhất.

Tuy nhiên, cách diễn đạt “chiều rộng của cổng vào là 6 m” thường ám chỉ khoảng cách ngang giữa hai điểm dưới cùng của cổng, nơi cổng chạm đất. Nếu đỉnh của parabol là \( (0, 0) \) và parabol quay bề lõm xuống dưới, thì \( y \) sẽ âm tại các điểm khác \( x=0 \).
Giả sử hệ trục tọa độ được đặt sao cho trục hoành (Ox) là mặt đất, và trục tung (Oy) là trục đối xứng của cổng, với đỉnh cổng nằm trên trục tung. Trong trường hợp phương trình là \(y= -1/2x^2\), đỉnh của parabol nằm ở gốc tọa độ \( (0,0) \). Điều này có nghĩa là điểm cao nhất của cổng là \( (0,0) \). Chiều rộng 6m của cổng vào có thể hiểu là khoảng cách ngang giữa hai điểm trên mặt đất.

Nếu đỉnh cổng là \( (0,0) \) và nó quay bề lõm xuống dưới, thì hai chân cổng sẽ có tọa độ \( (-3, y) \) và \( (3, y) \). Giá trị \( y \) tại hai chân cổng này sẽ là điểm thấp nhất của cổng.
Chúng ta đã tính được \( y = -4.5 \) khi \( x = \pm 3 \).
Vậy hai chân cổng có tọa độ \( (-3, -4.5) \) và \( (3, -4.5) \).

Trong trường hợp này, chiều cao của cổng sẽ được đo từ mặt đất (tức là từ điểm có tung độ \( y = -4.5 \)) lên đến đỉnh cổng (tức là điểm có tung độ \( y = 0 \)).

Chiều cao của cổng = (Tung độ đỉnh) – (Tung độ chân cổng)
Chiều cao của cổng = \( 0 – (-4.5) \)
Chiều cao của cổng = \( 0 + 4.5 \)
Chiều cao của cổng = \( 4.5 \) m.

Kết luận:

Vậy, chiều cao của chiếc cổng là 4.5 m.

Các em thấy đó, chỉ với một phương trình parabol đơn giản, chúng ta đã có thể tính toán được kích thước thực tế của một công trình. Hãy nhớ rằng, khi áp dụng toán học vào thực tế, chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của từng yếu tố và cách đặt hệ trục tọa độ sao cho phù hợp với bài toán nhé.

Các em có câu hỏi nào không? Nếu không, chúng ta sẽ chuyển sang bài tập tiếp theo.