Chúng ta có một con lắc đơn với chiều dài l = 1m. Ban đầu, chúng ta kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một góc ban đầu là \(\alpha_0 = 10^\circ\). Sau đó, chúng ta thả nhẹ nhàng, tức là vận tốc ban đầu tại vị trí này bằng 0. Gia tốc trọng trường được cho là \(g = 10m/s^2\). Đề bài yêu cầu chúng ta tìm vận tốc của con lắc khi nó đi qua vị trí cân bằng.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định luật bảo toàn cơ năng. Tại sao lại là định luật bảo toàn cơ năng? Bởi vì, trong quá trình dao động của con lắc đơn, nếu bỏ qua ma sát và sức cản của không khí, thì cơ năng của con lắc sẽ được bảo toàn.

Chúng ta hãy xác định cơ năng của con lắc tại hai thời điểm quan trọng:

Thời điểm 1: Khi vật ở vị trí biên ban đầu

Tại vị trí này, vật có góc lệch \(\alpha_0 = 10^\circ\) so với phương thẳng đứng. Vận tốc của vật tại đây là \(v_0 = 0\) (vì thả không vận tốc ban đầu).

Độ cao của vật so với vị trí cân bằng có thể được tính như sau:
Gọi O là điểm treo con lắc, P là vị trí cân bằng, và A là vị trí biên ban đầu.
Khi vật ở vị trí biên A, dây treo có chiều dài l. Khoảng cách từ điểm treo O đến phương ngang đi qua A là \(l \cos(\alpha_0)\).
Độ cao h của A so với P (vị trí cân bằng) sẽ là \(h = l – l \cos(\alpha_0)\).
Chúng ta có thể viết lại công thức này là:
\(h = l(1 – \cos(\alpha_0))\)

Cơ năng tại vị trí biên 1 được tính bằng tổng động năng và thế năng:
\(W_1 = K_1 + P_1\)
Động năng \(K_1 = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m(0)^2 = 0\)
Thế năng \(P_1 = mgh = mgl(1 – \cos(\alpha_0))\)
Vậy, cơ năng tại vị trí biên là:
\(W_1 = mgl(1 – \cos(\alpha_0))\)

Thời điểm 2: Khi vật đi qua vị trí cân bằng

Tại vị trí cân bằng, dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc \(\alpha = 0^\circ\). Vận tốc của vật tại đây là \(v_{cb}\) mà chúng ta cần tìm.
Độ cao của vật so với vị trí cân bằng tại thời điểm này là \(h_{cb} = 0\) (chúng ta chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng).

Cơ năng tại vị trí cân bằng 2 được tính như sau:
\(W_2 = K_2 + P_2\)
Động năng \(K_2 = \frac{1}{2}mv_{cb}^2\)
Thế năng \(P_2 = mgh_{cb} = mg(0) = 0\)
Vậy, cơ năng tại vị trí cân bằng là:
\(W_2 = \frac{1}{2}mv_{cb}^2\)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng

Theo định luật bảo toàn cơ năng, \(W_1 = W_2\).
\(mgl(1 – \cos(\alpha_0)) = \frac{1}{2}mv_{cb}^2\)

Chúng ta có thể rút gọn khối lượng m ở cả hai vế:
\(gl(1 – \cos(\alpha_0)) = \frac{1}{2}v_{cb}^2\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm \(v_{cb}\). Nhân cả hai vế với 2:
\(2gl(1 – \cos(\alpha_0)) = v_{cb}^2\)

Lấy căn bậc hai cả hai vế để tìm \(v_{cb}\):
\(v_{cb} = \sqrt{2gl(1 – \cos(\alpha_0))}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay số vào công thức này.
\(l = 1m\)
\(g = 10m/s^2\)
\(\alpha_0 = 10^\circ\)

Trước hết, chúng ta cần tính giá trị của \(\cos(10^\circ)\). Các em có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tính:
\(\cos(10^\circ) \approx 0.9848\)

Bây giờ, thay các giá trị vào công thức tính \(v_{cb}\):
\(v_{cb} = \sqrt{2 \times 10 \times 1 \times (1 – 0.9848)}\)
\(v_{cb} = \sqrt{20 \times 0.0152}\)
\(v_{cb} = \sqrt{0.304}\)

Bây giờ, chúng ta tính căn bậc hai của 0.304:
\(v_{cb} \approx 0.55136m/s\)

So sánh với các đáp án đề bài cho:
A. 0,5m/s
B. 0,55m/s
C. 1,25m/s
D. 0,77m/s

Kết quả tính toán của chúng ta gần nhất với đáp án B.

Vậy, vận tốc của con lắc qua vị trí cân bằng là khoảng 0,55m/s.

Đáp án đúng là B.

Các em có thắc mắc gì về cách giải không? Nếu có, cứ mạnh dạn hỏi nhé. Chúng ta đã đi qua các bước rất rõ ràng, từ việc xác định các thời điểm, tính cơ năng tại mỗi thời điểm, áp dụng định luật bảo toàn cơ năng và cuối cùng là thay số để tìm kết quả. Đây là một dạng bài tập cơ bản và rất quan trọng trong chương con lắc đơn.