Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay cô giáo sẽ cùng các em giải một bài toán rất thú vị, một bài toán có trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Bài toán này nằm trong chương trình Đại số lớp 9, và chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết nó một cách hiệu quả nhất.

Trước tiên, chúng ta cần xác định rõ đề bài yêu cầu chúng ta tìm cái gì và đã cho chúng ta những thông tin gì.

Đề bài cho chúng ta biết:
1. Có một đàn em nhỏ đứng bên sông.
2. Nếu chia cho mỗi em 5 quả hồng thì thừa ra 5 quả.
3. Nếu chia cho mỗi em 6 quả hồng thì có một em không có quả nào.

Đề bài hỏi chúng ta có bao nhiêu em nhỏ và bao nhiêu trái hồng.

Để giải bài toán này một cách khoa học, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn và lập hệ phương trình.

Bước 1: Đặt ẩn

Trong bài toán này, chúng ta cần tìm hai đại lượng chưa biết là “số em nhỏ” và “số trái hồng”. Do đó, chúng ta sẽ đặt ẩn cho hai đại lượng này.

Gọi
* \(x\) là số em nhỏ (em thơ)
* \(y\) là số trái hồng

Bước 2: Lập phương trình dựa vào các thông tin đề bài cho

Chúng ta sẽ phân tích từng câu trong đề bài để lập phương trình:

* “Mỗi người năm quả thừa năm trái”: Điều này có nghĩa là nếu chúng ta lấy tổng số trái hồng \(y\) chia cho 5 quả cho mỗi em \(x\), thì sẽ dư ra 5 quả.
Ta có thể diễn tả mối quan hệ này như sau: Tổng số trái hồng \(y\) sẽ bằng số em nhân với số quả mỗi em nhận được (5) cộng với số quả thừa (5).
Vậy, ta có phương trình thứ nhất: \(y = 5x + 5\) (1)

* “Mỗi người sáu trái một người không”: Điều này có nghĩa là nếu chúng ta chia cho mỗi em 6 quả, thì sẽ có một em không nhận được quả nào.
Điều này có thể hiểu là: số em nhận được hồng là \(x-1\) em. Mỗi em này nhận được 6 quả. Vậy tổng số trái hồng là \(6 \times (x-1)\).
Do đó, ta có phương trình thứ hai: \(y = 6(x-1)\) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Bây giờ, chúng ta có một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\) và \(y\):
\[
\begin{cases}
y = 5x + 5 \quad (1) \\
y = 6(x-1) \quad (2)
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế để giải hệ này. Vì cả hai phương trình đều đã cho \(y\) theo \(x\), chúng ta có thể cho vế phải của hai phương trình bằng nhau:

\(5x + 5 = 6(x-1)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \(x\):

\(5x + 5 = 6x – 6\)

Chuyển các hạng tử chứa \(x\) về một vế và các hạng tử tự do về vế còn lại:

\(5 + 6 = 6x – 5x\)
\(11 = x\)

Vậy, số em nhỏ là 11 em.

Tiếp theo, chúng ta sẽ thay giá trị của \(x\) vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm \(y\). Cô giáo sẽ thay vào phương trình (1):

\(y = 5x + 5\)
\(y = 5 \times 11 + 5\)
\(y = 55 + 5\)
\(y = 60\)

Vậy, số trái hồng là 60 trái.

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả

Để đảm bảo bài toán được giải chính xác, chúng ta cùng kiểm tra lại kết quả:

* Với 11 em nhỏ và 60 trái hồng:
Nếu chia mỗi em 5 quả: \(11 \times 5 = 55\) quả. Số quả thừa là \(60 – 55 = 5\) quả. (Đúng với thông tin đề bài cho).
* Nếu chia mỗi em 6 quả: \(11 \times 6 = 66\) quả. Tuy nhiên, chúng ta chỉ có 60 trái hồng.
Chúng ta cần suy nghĩ lại cách hiểu “một người không”. Nếu mỗi em nhận 6 quả thì \(11\) em cần \(11 \times 6 = 66\) quả. Vì chỉ có 60 quả, nên không thể chia cho tất cả 11 em mỗi người 6 quả.
Cách diễn đạt “mỗi người sáu trái một người không” có nghĩa là: Nếu chia cho từng người 6 quả, thì sẽ có người không nhận đủ 6 quả. Cụ thể, nếu chúng ta lấy 60 quả chia cho 11 em, thì mỗi em nhận được \(60 \div 11 = 5\) dư \(5\).
Tuy nhiên, theo cách hiểu thông thường của bài toán đố này, “mỗi người sáu trái một người không” có nghĩa là số em có thể nhận đủ 6 quả là \(x-1\) em, và tổng số trái hồng đủ chia cho \(x-1\) em với mỗi người 6 quả.
Với \(x=11\), số em nhận đủ 6 quả sẽ là \(11-1=10\) em.
Số trái hồng cần là \(10 \times 6 = 60\) quả. (Đúng với số trái hồng chúng ta tìm được).

Vậy, kết quả của chúng ta là hoàn toàn chính xác.

Kết luận

Có 11 em nhỏ và 60 trái hồng.