Đầu tiên, chúng ta cần xác định các đại lượng đã biết và chưa biết trong bài toán.

Gọi \(x\) (tấn) là số tấn than mỗi ngày đội phải khai thác theo kế hoạch.
Gọi \(y\) (ngày) là thời gian quy định để đội khai thác hết 216 tấn than.

Theo đề bài, chúng ta có các mối quan hệ sau:

1. Số tấn than dự định khai thác là 216 tấn.
Vậy, ta có phương trình: \(x \times y = 216\) (1)

2. Trong ba ngày đầu, đội khai thác đúng dự định.
Số tấn than khai thác trong 3 ngày đầu là \(3x\) (tấn).

3. Sau đó, mỗi ngày đội khai thác vượt mức dự định 8 tấn.
Vậy, mỗi ngày sau 3 ngày đầu, đội khai thác được \(x + 8\) (tấn).

4. Tổng số tấn than thực tế khai thác là 232 tấn.
Số ngày thực tế còn lại để khai thác là \(y – 3\) ngày.
Số tấn than khai thác trong những ngày còn lại là \((y – 3)(x + 8)\) (tấn).

5. Tổng số tấn than thực tế khai thác được là \(3x + (y – 3)(x + 8)\).
Ta có phương trình: \(3x + (y – 3)(x + 8) = 232\) (2)

6. Đội đã xong trước hạn 1 ngày. Điều này có nghĩa là thời gian thực tế hoàn thành công việc là \(y – 1\) ngày.
Số ngày thực tế đã làm là \(3 + (y – 3) = y\) ngày.
À, chỗ này chúng ta cần suy nghĩ kỹ hơn một chút. Đề bài nói “xong trước hạn 1 ngày” nghĩa là tổng số ngày đội làm việc thực tế ít hơn kế hoạch 1 ngày.
Số ngày quy định là \(y\).
Số ngày thực tế làm là \(3 +\) (số ngày còn lại).
Tổng số tấn than là 232 tấn.
Chúng ta có thể xét lại số ngày thực tế.
Số ngày đã làm là 3 ngày (đúng dự định).
Số ngày còn lại làm vượt mức.
Tổng số ngày thực tế làm việc là \(y – 1\).
Vậy số ngày làm việc vượt mức là \((y – 1) – 3 = y – 4\) ngày.

Từ đó, phương trình (2) có thể viết lại như sau:
\(3x + (y – 4)(x + 8) = 232\) (2′)

Bây giờ chúng ta có một hệ phương trình hai ẩn:
\[
\begin{cases}
xy = 216 \quad &(1)\\
3x + (y – 4)(x + 8) = 232 \quad &(2′)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (1), ta rút ra \(y = \frac{216}{x}\) (vì \(x\) là số tấn than mỗi ngày, nên \(x \neq 0\)).

Thế \(y = \frac{216}{x}\) vào phương trình (2′):
\(3x + \left(\frac{216}{x} – 4\right)(x + 8) = 232\)

Bây giờ chúng ta sẽ khai triển và rút gọn phương trình này:
\(3x + \frac{216}{x} \cdot x + \frac{216}{x} \cdot 8 – 4x – 4 \cdot 8 = 232\)
\(3x + 216 + \frac{1728}{x} – 4x – 32 = 232\)

Kết hợp các số hạng và \(x\):
\((3x – 4x) + (216 – 32) + \frac{1728}{x} = 232\)
\(-x + 184 + \frac{1728}{x} = 232\)

Chuyển các hạng tử về một vế để đưa về phương trình bậc hai. Trước hết, nhân cả hai vế với \(x\) để khử mẫu số (lưu ý \(x \neq 0\)):
\(-x^2 + 184x + 1728 = 232x\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái:
\(-x^2 + 184x – 232x + 1728 = 0\)
\(-x^2 – 48x + 1728 = 0\)

Nhân cả hai vế với -1 để hệ số của \(x^2\) dương:
\(x^2 + 48x – 1728 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a = 1\), \(b = 48\), \(c = -1728\).
Chúng ta sẽ tính biệt thức \(\Delta\):
\(\Delta = b^2 – 4ac\)
\(\Delta = (48)^2 – 4(1)(-1728)\)
\(\Delta = 2304 + 6912\)
\(\Delta = 9216\)

Kiểm tra xem \(\Delta\) có phải là số chính phương không. Ta có \(\sqrt{9216} = 96\).
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-48 + 96}{2 \times 1} = \frac{48}{2} = 24\)
\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-48 – 96}{2 \times 1} = \frac{-144}{2} = -72\)

Vì \(x\) là số tấn than mỗi ngày đội phải khai thác, nên \(x\) phải là một số dương.
Do đó, ta loại nghiệm \(x_2 = -72\).
Vậy, \(x = 24\).

Bây giờ chúng ta tìm \(y\) bằng cách thế \(x = 24\) vào phương trình (1):
\(y = \frac{216}{x} = \frac{216}{24} = 9\)

Kiểm tra lại các điều kiện của bài toán với \(x = 24\) tấn/ngày và \(y = 9\) ngày:
– Kế hoạch: 24 tấn/ngày trong 9 ngày, tổng cộng \(24 \times 9 = 216\) tấn. (Đúng)
– Ba ngày đầu: 3 ngày \(\times\) 24 tấn/ngày = 72 tấn.
– Số tấn than còn lại cần khai thác là \(216 – 72 = 144\) tấn.
– Thời gian còn lại theo kế hoạch là \(9 – 3 = 6\) ngày.
– Mỗi ngày sau đó khai thác vượt mức 8 tấn, tức là \(24 + 8 = 32\) tấn/ngày.
– Số ngày thực tế làm việc còn lại là bao nhiêu? Họ xong trước hạn 1 ngày, tức là xong trong \(9 – 1 = 8\) ngày.
– Họ đã làm 3 ngày, vậy số ngày làm việc vượt mức là \(8 – 3 = 5\) ngày.
– Số tấn than khai thác trong 5 ngày này là \(5 \times 32 = 160\) tấn.
– Tổng số tấn than thực tế khai thác là \(72 + 160 = 232\) tấn. (Đúng với đề bài)
– Thời gian thực tế là \(3 + 5 = 8\) ngày, tức là xong trước hạn \(9 – 8 = 1\) ngày. (Đúng với đề bài)

Vậy, theo kế hoạch, mỗi ngày đội phải khai thác 24 tấn than.

Trả lời: Theo kế hoạch mỗi ngày đội phải khai thác 24 tấn than.