Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về hình chữ nhật trong Sách giáo khoa Toán lớp 9. Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm chiều dài và chiều rộng của một mảnh vườn dựa trên thông tin về diện tích và sự thay đổi khi kích thước thay đổi.

Chúng ta cùng nhau phân tích đề bài nhé:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m vuông.
Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi.
Yêu cầu là tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình chữ nhật và cách lập hệ phương trình.

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện

Trước hết, chúng ta cần gọi ẩn cho chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
Gọi chiều dài của mảnh vườn là \(x\) (mét).
Gọi chiều rộng của mảnh vườn là \(y\) (mét).

Vì chiều dài và chiều rộng của một mảnh vườn phải là các số dương, nên ta có điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\).

Bước 2: Thiết lập phương trình dựa trên thông tin đề bài

Dựa vào thông tin “Một mảnh vườn HCM Có diện tích 720m vuông”, ta có phương trình đầu tiên liên quan đến diện tích ban đầu.
Diện tích hình chữ nhật được tính bằng công thức: Diện tích = Chiều dài × Chiều rộng.
Vậy, ta có phương trình:
\(x \cdot y = 720\) (1)

Tiếp theo, ta xem xét trường hợp khi kích thước thay đổi: “nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh không đổi”.
Chiều dài mới sẽ là: \(x + 10\) (mét).
Chiều rộng mới sẽ là: \(y – 6\) (mét).
Diện tích mới vẫn là 720m vuông.
Vậy, ta có phương trình thứ hai:
\((x + 10)(y – 6) = 720\) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Bây giờ, chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn \(x\) và \(y\):
1) \(x \cdot y = 720\)
2) \((x + 10)(y – 6) = 720\)

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ này. Ở đây, ta sẽ sử dụng phương pháp thế.

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\) (hoặc ngược lại). Do \(x > 0\), ta có:
\(y = \frac{720}{x}\)

Bây giờ, ta thay biểu thức của \(y\) này vào phương trình (2):
\((x + 10)(\frac{720}{x} – 6) = 720\)

Tiếp theo, ta khai triển và rút gọn phương trình này để đưa về một phương trình bậc hai.
Nhân phân phối \((x + 10)\) vào trong ngoặc:
\(x(\frac{720}{x}) – x(6) + 10(\frac{720}{x}) – 10(6) = 720\)
\(720 – 6x + \frac{7200}{x} – 60 = 720\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế và rút gọn:
\(720 – 6x + \frac{7200}{x} – 60 – 720 = 0\)
\(-6x + \frac{7200}{x} – 60 = 0\)

Để khử mẫu số là \(x\), ta nhân cả hai vế của phương trình với \(x\) (lưu ý \(x \neq 0\) vì điều kiện \(x > 0\)):
\(-6x^2 + 7200 – 60x = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai dạng \(ax^2 + bx + c = 0\). Ta có thể sắp xếp lại các hạng tử theo thứ tự giảm dần của số mũ:
\(-6x^2 – 60x + 7200 = 0\)

Để cho dễ nhìn, chúng ta chia cả hai vế cho -6:
\(x^2 + 10x – 1200 = 0\)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc hai này. Chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Ta hãy thử phân tích thành nhân tử. Ta cần tìm hai số có tích bằng -1200 và tổng bằng 10.
Hai số đó là 40 và -30.
\(40 \times (-30) = -1200\)
\(40 + (-30) = 10\)

Vậy, phương trình có thể viết lại như sau:
\((x + 40)(x – 30) = 0\)

Từ đó, ta có hai trường hợp:
\(x + 40 = 0 \Rightarrow x = -40\)
\(x – 30 = 0 \Rightarrow x = 30\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Chúng ta đã tìm được hai giá trị có thể cho \(x\): -40 và 30.
Nhớ lại điều kiện ban đầu, chiều dài \(x\) phải là số dương (\(x > 0\)).
Do đó, \(x = -40\) không thỏa mãn điều kiện.
Ta chỉ chấp nhận \(x = 30\).

Bây giờ, ta tìm chiều rộng \(y\) tương ứng với \(x = 30\) bằng cách sử dụng phương trình \(y = \frac{720}{x}\):
\(y = \frac{720}{30}\)
\(y = 24\)

Chiều rộng \(y = 24\) cũng thỏa mãn điều kiện \(y > 0\).

Vậy, chiều dài của mảnh vườn là 30 mét và chiều rộng của mảnh vườn là 24 mét.

Kiểm tra lại kết quả:
Diện tích ban đầu: \(30 \times 24 = 720\) (m vuông). Đúng.
Khi tăng chiều dài thêm 10m: \(30 + 10 = 40\) (mét).
Khi giảm chiều rộng 6m: \(24 – 6 = 18\) (mét).
Diện tích mới: \(40 \times 18 = 720\) (m vuông). Diện tích không đổi.

Như vậy, kết quả của chúng ta là hoàn toàn chính xác.

Kết luận:
Chiều dài của mảnh vườn là 30 mét.
Chiều rộng của mảnh vườn là 24 mét.

Hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững cách lập hệ phương trình từ bài toán thực tế và cách giải hệ phương trình bậc nhất. Chúc các em học tốt!