Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, cô và các em sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị liên quan đến hình chữ nhật và tìm giá trị lớn nhất. Chúng ta sẽ bám sát kiến thức đã học trong sách giáo khoa để giải quyết bài toán này một cách chi tiết nhé.

Bài toán:

Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài bằng 20m, chiều rộng bằng nửa chiều dài. Người ta giảm chiều dài đi x (m) và tăng chiều rộng thêm x (m). Tìm x để diện tích miếng đất thu được là lớn nhất.

Phân tích đề bài và các bước giải:

Trước hết, chúng ta cần xác định các đại lượng đã biết và các đại lượng cần tìm.

1. Tính chiều rộng ban đầu của miếng đất.
Theo đề bài, chiều rộng bằng nửa chiều dài. Chiều dài đã cho là 20m.

2. Biểu diễn chiều dài và chiều rộng mới của miếng đất sau khi thay đổi.
Đề bài cho biết chiều dài giảm đi x (m) và chiều rộng tăng thêm x (m).

3. Biểu diễn diện tích miếng đất mới theo x.
Diện tích hình chữ nhật được tính bằng công thức: Chiều dài nhân với Chiều rộng.

4. Tìm giá trị của x để diện tích miếng đất mới là lớn nhất.
Đây là phần quan trọng nhất của bài toán. Chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về biểu thức bậc hai và cách tìm giá trị lớn nhất của nó.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính chiều rộng ban đầu của miếng đất.

Chiều dài ban đầu của miếng đất là 20m.
Chiều rộng ban đầu của miếng đất là:
Chiều rộng = (1/2) * Chiều dài
Chiều rộng = (1/2) * 20m = 10m.

Vậy, ban đầu miếng đất có chiều dài là 20m và chiều rộng là 10m.

Bước 2: Biểu diễn chiều dài và chiều rộng mới của miếng đất sau khi thay đổi.

Chiều dài ban đầu là 20m. Chiều dài giảm đi x (m).
Vậy, chiều dài mới của miếng đất là:
Chiều dài mới = 20 – x (m)

Chiều rộng ban đầu là 10m. Chiều rộng tăng thêm x (m).
Vậy, chiều rộng mới của miếng đất là:
Chiều rộng mới = 10 + x (m)

Bước 3: Biểu diễn diện tích miếng đất mới theo x.

Diện tích miếng đất mới, ký hiệu là S, được tính bằng công thức:
\( S = \text{Chiều dài mới} \times \text{Chiều rộng mới} \)
\( S = (20 – x) \times (10 + x) \)

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển biểu thức này ra để có một biểu thức bậc hai theo biến x:
\( S = 20 \times 10 + 20 \times x – x \times 10 – x \times x \)
\( S = 200 + 20x – 10x – x^2 \)
\( S = -x^2 + 10x + 200 \)

Vậy, diện tích miếng đất mới được biểu diễn bởi hàm số bậc hai \( S(x) = -x^2 + 10x + 200 \).

Bước 4: Tìm giá trị của x để diện tích miếng đất mới là lớn nhất.

Chúng ta có hàm số bậc hai \( S(x) = -x^2 + 10x + 200 \). Đây là một parabol có bề lõm quay xuống dưới vì hệ số của \( x^2 \) là -1 (nhỏ hơn 0). Do đó, hàm số này sẽ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

Hoành độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) được cho bởi công thức:
\( x_{đỉnh} = \frac{-b}{2a} \)

Trong hàm số \( S(x) = -x^2 + 10x + 200 \), ta có:
a = -1
b = 10
c = 200

Áp dụng công thức tìm hoành độ đỉnh:
\( x_{đỉnh} = \frac{-(10)}{2 \times (-1)} \)
\( x_{đỉnh} = \frac{-10}{-2} \)
\( x_{đỉnh} = 5 \)

Vậy, giá trị của x để diện tích miếng đất thu được là lớn nhất là x = 5.

Kiểm tra điều kiện của x:

Khi giảm chiều dài đi x (m), chiều dài mới phải không âm.
\( 20 – x \ge 0 \Rightarrow x \le 20 \)

Khi tăng chiều rộng thêm x (m), chiều rộng mới phải không âm.
\( 10 + x \ge 0 \Rightarrow x \ge -10 \)

Vì x là độ dài giảm đi, nên thường ta hiểu x > 0. Tuy nhiên, trong trường hợp này, x có thể âm nếu hiểu là “tăng chiều dài đi -x”. Nhưng theo cách diễn đạt “giảm chiều dài đi x”, thì x là một lượng dương hoặc bằng 0.

Với \( x = 5 \), ta có:
Chiều dài mới = \( 20 – 5 = 15 \) m (thỏa mãn \( \ge 0 \))
Chiều rộng mới = \( 10 + 5 = 15 \) m (thỏa mãn \( \ge 0 \))

Vậy, \( x = 5 \) là một giá trị hợp lệ.

Tính diện tích lớn nhất (không bắt buộc nhưng để kiểm tra):

Khi x = 5, diện tích lớn nhất là:
\( S_{max} = -(5)^2 + 10(5) + 200 \)
\( S_{max} = -25 + 50 + 200 \)
\( S_{max} = 225 \) (m²)

Khi đó, miếng đất có chiều dài là 15m và chiều rộng là 15m, tức là một hình vuông.

Kết luận:

Để diện tích miếng đất thu được là lớn nhất, giá trị của x cần tìm là x = 5 (m).

Như vậy, chúng ta đã giải xong bài toán bằng cách sử dụng kiến thức về biểu thức bậc hai. Các em nhớ ôn tập lại cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai nhé! Có em nào có câu hỏi gì không?