Đầu tiên, các em hãy cùng cô đọc kỹ đề bài và xác định những thông tin quan trọng mà đề bài đã cung cấp nhé:

* Khối lượng mẫu ván quan tài: 50 g cacbon.
* Độ phóng xạ của mẫu ván quan tài: 457 phân rã/phút.
* Độ phóng xạ của cây cối đang sống (tỉ lệ trên khối lượng cacbon): 3000 phân rã/phút trên 200 g cacbon.
* Chu kì bán rã của C14: T = 5600 năm.

Mục tiêu của chúng ta là tính toán tuổi của ngôi mộ cổ, tức là thời gian từ khi cây ngừng trao đổi cacbon với môi trường đến nay.

Chúng ta sẽ đi từng bước như sau:

Bước 1: Tính độ phóng xạ ban đầu của 1 gam cacbon.

Đề bài cho biết độ phóng xạ của cây cối đang sống là 3000 phân rã/phút trên 200 g cacbon. Để dễ dàng so sánh và tính toán, chúng ta cần quy về độ phóng xạ trên đơn vị khối lượng là 1 gam cacbon.

Độ phóng xạ trên 1 gam cacbon của cây đang sống là:
\[
\text{Độ phóng xạ ban đầu (trên 1g)} = \frac{3000 \text{ phân rã/phút}}{200 \text{ g}} = 15 \text{ phân rã/phút/g}
\]
Đây chính là độ phóng xạ mà 1 gam cacbon trong mẫu ván quan tài đáng lẽ phải có nếu cây đó còn sống.

Bước 2: Tính độ phóng xạ ban đầu của 50 g cacbon.

Mẫu ván quan tài có khối lượng 50 g cacbon. Vậy, nếu cây còn sống, 50 g cacbon này sẽ có độ phóng xạ ban đầu là:
\[
\text{Độ phóng xạ ban đầu của 50g} = 15 \text{ phân rã/phút/g} \times 50 \text{ g} = 750 \text{ phân rã/phút}
\]
Cô gọi độ phóng xạ ban đầu này là \(H_0\). Vậy \(H_0 = 750\) phân rã/phút.

Bước 3: Xác định độ phóng xạ hiện tại của mẫu.

Đề bài đã cho trực tiếp độ phóng xạ của mẫu ván quan tài hiện tại là 457 phân rã/phút. Cô gọi độ phóng xạ hiện tại này là \(H\). Vậy \(H = 457\) phân rã/phút.

Bước 4: Áp dụng công thức liên hệ giữa độ phóng xạ và thời gian.

Chúng ta biết rằng độ phóng xạ của một lượng chất phóng xạ tuân theo quy luật sau:
\[
H = H_0 \cdot e^{-\lambda t}
\]
trong đó:
* \(H\) là độ phóng xạ tại thời điểm \(t\).
* \(H_0\) là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm \(t=0\)).
* \(\lambda\) là hằng số phóng xạ.
* \(t\) là thời gian trôi qua.

Chúng ta cũng có mối liên hệ giữa hằng số phóng xạ \(\lambda\) và chu kì bán rã T:
\[
\lambda = \frac{\ln 2}{T}
\]

Bước 5: Tính hằng số phóng xạ \(\lambda\).

Với T = 5600 năm, ta có:
\[
\lambda = \frac{\ln 2}{5600} \text{ năm}^{-1}
\]
Chúng ta có thể để nguyên biểu thức này hoặc tính giá trị gần đúng của \(\ln 2\) là 0.693.
\[
\lambda \approx \frac{0.693}{5600} \text{ năm}^{-1}
\]

Bước 6: Tìm thời gian \(t\) từ công thức độ phóng xạ.

Từ công thức \(H = H_0 \cdot e^{-\lambda t}\), ta có thể biến đổi để tìm \(t\):
Chia cả hai vế cho \(H_0\):
\[
\frac{H}{H_0} = e^{-\lambda t}
\]
Lấy logarit tự nhiên (ln) cả hai vế:
\[
\ln\left(\frac{H}{H_0}\right) = -\lambda t
\]
\[
t = -\frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{H}{H_0}\right)
\]
Hoặc có thể viết lại như sau:
\[
t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{H_0}{H}\right)
\]
Thay \(\lambda = \frac{\ln 2}{T}\) vào, ta được:
\[
t = \frac{T}{\ln 2} \ln\left(\frac{H_0}{H}\right)
\]

Bước 7: Thay số và tính toán tuổi của ngôi mộ.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị đã biết vào công thức để tính \(t\).
\(T = 5600\) năm
\(H_0 = 750\) phân rã/phút
\(H = 457\) phân rã/phút

\[
t = \frac{5600}{\ln 2} \ln\left(\frac{750}{457}\right)
\]

Chúng ta sẽ sử dụng máy tính để tính toán:
* \(\ln 2 \approx 0.6931\)
* \(\frac{750}{457} \approx 1.6411\)
* \(\ln(1.6411) \approx 0.4954\)

\[
t \approx \frac{5600}{0.6931} \times 0.4954
\]
\[
t \approx 8080.15 \times 0.4954
\]
\[
t \approx 3999.8 \text{ năm}
\]

Giá trị này rất gần với 4000 năm.

Bước 8: So sánh với các đáp án.

Kết quả tính toán của chúng ta là khoảng 4000 năm. Bây giờ chúng ta xem xét các đáp án:
A. 9,2 nghìn năm
B. 1,5 nghìn năm
C. 2,2 nghìn năm
D. 4 nghìn năm

Rõ ràng, đáp án D là phù hợp nhất với kết quả chúng ta vừa tính được.

Vậy, tuổi của ngôi mộ cổ đó là khoảng 4 nghìn năm.

Cô hy vọng với cách trình bày chi tiết từng bước như vậy, các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Đây là một ứng dụng thực tế rất hay của kiến thức về phóng xạ mà chúng ta học. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé!